Função suave

Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável

Seja $f:D\to\mathbb{R}\,$ um função com domínio $D\subseteq\mathbb{R}\,$, então:

• $f\,$ é dita ser de classe $C^0(D,\mathbb{R})\,$ se for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser de classe $C^n(D,\mathbb{R})\,$ se sua enésima derivada for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser suave ou de classe $C^\infty(D,\mathbb{R})\,$ for de classe $C^n(D,\mathbb{R})\,$ para todo $n\,$
• $f\,$ é dita ser analítica ou de classe $C^\omega(D,\mathbb{R})\,$ se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveis

Seja $f:D\to\mathbb{R}^m\,$ um função com domínio $D\subseteq\mathbb{R}^n\,$

• $f\,$ é dita ser de classe $C^0(D,\mathbb{R}^n)\,$ se for uma função contínua.
• $f\,$ é dita ser de classe $C^n(D,\mathbb{R}^n)\,$ se todas as suas derivadas parciais de ordem até $n\,$ forem funções contínuas.
• $f\,$ é dita ser suave ou de classe $C^\infty(D,\mathbb{R}^n)\,$ for de classe $C^n(D,\mathbb{R}^n)\,$ para todo $n\,$

Exemplos

A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.

A função f(x)=x² sin(1/x) para x>0.

Um função suave não analítica.

A função

$f(x) = \begin{cases}x & \mbox{se }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{se }x < 0\end{cases}$

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe $C^0\,$ mas não de classe $C^1\,$.

A função

$f(x) = \begin{cases}x^2\sin{1/x} & \mbox{se }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{se }x = 0\end{cases}$

é diferenciável, com derivada

$f'(x) = \begin{cases}2x\sin{1/x} - \cos{1/x} & \mbox{se }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{se }x = 0.\end{cases}$

Como $\cos(1/x)\,$ oscila quando $x$ se aproxima de zero, $f(x)\,$ não é contínua na origem. Portanto, esta função é diferenciável mas não é de classe C¹.

A função

$f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ caso contrario }\end{cases}$

é suave, e portanto de classe $C^\infty\,$, mas não é analítica, portanto não é de classe $C^\omega\,$. Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe $C^{\omega}$.

Ver também

• Difeomorfismo
• Concordância (tangência)