Função suave

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Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variável[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{R} um função com domínio D\subseteq\mathbb{R}, então:

Definições para funções de várias variáveis[editar | editar código-fonte]

Seja f:D\to\mathbb{R}^m um função com domínio D\subseteq\mathbb{R}^n

  • f é dita ser de classe C^0(D,\mathbb{R}^n) se for uma função contínua.
  • f é dita ser de classe C^n(D,\mathbb{R}^n) se todas as suas derivadas parciais de ordem até n forem funções contínuas.
  • f é dita ser suave ou de classe C^\infty(D,\mathbb{R}^n) for de classe C^n(D,\mathbb{R}^n) para todo n

Exemplos[editar | editar código-fonte]

A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.
A função f(x)=x2 sin(1/x) para x>0.
Um função suave não analítica.

A função

f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{se }x \ge 0, \\ 0 &\mbox{se }x < 0\end{cases}

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe C^0 mas não de classe C^1.

A função

f(x) = \begin{cases}x^2\sin{1/x} & \mbox{se }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{se }x = 0\end{cases}

é diferenciável, com derivada

f'(x) = \begin{cases}2x\sin{1/x} - \cos{1/x} & \mbox{se }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{se }x = 0.\end{cases}

Como o limite de \cos(1/x) não existe quando x se aproxima de zero, f'(x) não é contínua na origem. Portanto, a função f é diferenciável mas não é de classe C1.

A função

f(x) = \begin{cases}e^{-1/(1-x^2)} & \mbox{ if } |x| < 1, \\ 0 &\mbox{ caso contrario }\end{cases}

é suave, e portanto de classe C^\infty, mas não é analítica, portanto não é de classe C^\omega. Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe C^{\omega}.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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