Função totiente de Euler

A função φ de Euler.

A função totiente, por vezes também chamada de função tociente, ou função phi (fi), – representada por φ(x) – é, na teoria dos números, definida para um número natural x como sendo igual à quantidade de números menores ou igual a x co-primos com respeito a ele. Matematicamente:

$\varphi(x) = \sharp\{n \in \mathbb{N} | n \leq x \and \mathrm{mdc}(n, x) = 1\}$

Por exemplo, φ(8) = 4, uma vez que 1, 3, 5 e 7 são co-primos de 8. Um outro exemplo, φ(1) = 1 pois mdc(1, 1) = 1. A função é por vezes chamada função totiente de Euler, pois foi o matemático suíço Leonhard Euler quem a determinou. A função totiente é também chamada simplesmente por função fi, por ser essa (φ) a letra grega usada para representá-la.

A função totiente é importante principalmente porque fornece o tamanho do grupo multiplicativo de inteiros módulo n — mais precisamente, φ(n) é a cardinalidade do grupo de unidades do anel Z/nZ. Este fato, ao lado do teorema de Lagrange, fornece a prova do teorema de Euler.

A função totiente possui esse nome graças ao matemático inglês James Joseph Sylvester, que gostava de inventar palavras novas e diferentes para às coisas com as quais lidava.

Calculando os valores da função

Se $n = p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r},$ onde os $p_j$ são os fatores primos (distintos) de $n,$ então pode-se determinar o valor da função em $n:$

$\varphi(n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}.$

A última fórmula é um produto de Euler e frequentemente se escreve como:

$\varphi(n)=n\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)$

sendo que este produto varia apenas sobre os primos distintos p que dividem n.

Esta fórmula pode ser deduzida mostrando-se que a função é multiplicativa, e observando-se que, para um primo p, $p^k - \varphi(p^k) = p^{k-1}$

Propriedades da função

Se $2 \le n \in \mathbb{N}.$ Então:

$\frac {\sqrt{n}}{2} \le \varphi(n) \le n-1$

Prova: $\varphi(n) = n-1 \Longleftrightarrow n$ é primo, se $n$ não é primo então $\varphi(n) < n-1.$ Agora só é necessário provar que $\frac{\sqrt{n}}{2} \le \phi(n).$

Prova: Se $n = 2^{a_0} \cdots (p_{r})^{a_{r}}$ sendo $2 < p_{1} < p_{2} \cdots p_{r}$ primos, e $a_{0} \ge 0,a_{1},a_{2} \cdots ,a_{r} \ge 1$ inteiros.

$\varphi(n) = \varphi(2^{a_{0}})p_1^{a_{1}-1} \cdots p_r^{a_{r}-1}(p_{1}-1) \cdots (p_{r}-1)$ onde $\varphi(2^{a_{0}}) = 1$ se $a_{0} = 0 \quad$ ou $2^{a_{0}-1}\quad$ se $a_{0} \ge 1 \quad,$ segue então:

$\varphi(n) \ge \varphi(2^a_{0})p_1^{\left ( \frac{a_{1}-1}{2} \right)} \cdots p_r^\left ( \frac{a_{r}-1}{2} \right) \sqrt{p_{1}} \cdots \sqrt{p_{r}} = \left ( \frac{\varphi(2^a_{0})}{2^{\left ( \frac{a_{0}}{2} \right )}} \right )p_1^{\left ( \frac{a_{1}}{2} \right)}p_2^{\left ( \frac{a_{2}}{2} \right)} \cdots p_r^{\left ( \frac{a_{r}}{2} \right)} = \left ( \frac{\varphi(2^a_{0})}{2^{\left ( \frac{a_{0}}{2} \right )}} \right )\sqrt{n} \ge \left ( \frac{1}{2} \right ) \sqrt{n}$

O que conclui a prova.

Ver também

• Função Divisor
• Função de Carmichael
• Criptografia RSA

Bibliografia

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.

• Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.

• Kirby Urner, Computing totient function in Python and scheme, (2003)

Ligações externas

• Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, Derived logarithmic function of Euler's function
• Bordellès, Olivier, Numbers prime to q in $[1, n]$
• Calcule ø(n) para um número até 2³¹.
• Teoria dos Números