Função zeta de Hasse-Weil

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Em matemática, a função zeta de Hasse-Weil associada a uma variedade algébrica V definida sobre um corpo numérico K é um dos dois tipos mais importantes de funções L. Estas funções L são chamadas 'globais', no sentido que são definidas como produtos de Euler em termos de funções zeta locais. Elas formam uma das duas principais classes de funções L globais, as outras são as funções L associadas à representações automórficas. Se poderia conjecturar que na realidade existe só um tipo essencial de função L global, com duas descrições (segundo se aproxime um desde uma variedade algébrica, ou desde uma representação automórfica); esta seria uma generalização muito ampla da conjectura de Taniyama-Shimura, que é em si mesma um resultado muito profundo e recente (2004) na teoria dos números.

A descrição da função zeta de Hasse–Weil até finitamente muitos fatores de seu produto de Euler é relativamente simples. Isto segue as sugestões iniciais de Helmut Hasse e André Weil, motivadas pelo cano no qual V é um ponto único, e resulta na função zeta de Riemann.

Tomando o caso de K o corpo de números racionais Q, e V uma variedade projetiva não sinfular, podemos por "quase todos" números primos p considerar a redução de V módulo p, uma variedade algébrica Vp sobre o corpo finito F_p com p elementos, só pela redução de equações para V. Mais uma vez para quase todos os p será não singular. Define-se

Z_{V,Q}(s)

ser a série de Dirichlet das variáveis complexas s, a qual é o produto infinito das funções zeta locais

\zeta_{V,p}\left(p^{-s}\right).

Então Z(s), de acordo com nossa definição, é bem definido apenas até a multiplicação pelas funções racionais em um número finito de p^{-s}.

Já que a indeterminância é relativamente anódina, e tem continuação meromorfa em toda parte, existe um sentido no qual as propriedades de Z(s) não dependem essencialmente disto. Em particular, enquanto a forma exata da equação funcional para Z(s), refletindo em uma linha vertical no plano complexo, irá depender definitivamente de fatores 'perdidos', a existência de algumas dessas equações funcionais não.

Uma definição mais refinada torna-se possível com o desenvolvimento de cohomologia etal; isto explica perfeitamente o que fazer sobre os fatores de 'má redução' perdidos. De acordo com os princípios gerais visíveis na teoria da ramificação, 'maus' primos portam boa informação (teoria do condutor). Isto manifesta-se na teoria etal no critério de Ogg–Néron–Shafarevich para uma boa redução; nomeada já que há uma boa redução, em um sentido definido, em todos os primos p para os quais a representação de Galois ρ sobre os grupos etais de cohomologia de V é não ramificada. Para estes, a definição de função zeta local pode ser recuperado em termos de característica polinomial de

\rho(Frob(p)),

Frob(p) sendo um elemento de Frobenius para p. O que ocorre no p ramificado é que ρ é não trivial sobre o grupo de inércia I(p) para p. Nestes primos a definição deve ser 'corrigida', tomando o maior quociente da representação ρ sobre o qual o grupo de inércia atua pela representação trivial. Com este refinamento, a definição de Z(s) pode ser expandido com êxito em 'quase todos' p a todos p participantes no produto de Euler. As consequências para a equação funcional foram apresentadas nos trabalhos de Serre e Deligne no final dos anos 1960; a equação funcional em si não tem sido demonstrada em geral.

Exemplo: Curva elíptica sobre Q[editar | editar código-fonte]

Sendo E uma curva elíptica sobre Q de condutor N. Então, E tem boa redução em todos os primos p não dividindo N, tem redução multiplicativa nos primos p que exatamente dividem N (i.e. tal que p divide N, mas p2 não; isto é escrito p || N), e tem redução aditiva em regiões diversas (i.e. nos primos onde p2 divide N). A função L de Hasse–Weil de E/Q é então[1]

L(s,E)=\prod_pL_p(s,E)^{-1}

onde, para um dado primo p

L_p(s,E)=\left\{\begin{array}{ll}
            (1-a_pp^{-s}+p^{1-2s}), & \mbox{se }p\nmid N \\
            (1-a_pp^{-s}), & \mbox{se }p||N \\
            1, & \mbox{se }p^2|N
       \end{array}\right.

onde, no caso de boa redução ap é p + 1 - (números de pontos de E mod p), e no caso de redução multiplicativa ap é ±1 dependendo se E tem não decomposição ou decomposição redução multiplicativa em p.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • J.-P. Serre, Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures), 1969/1970, Sém. Delange-Pisot-Poitou, exposé 19

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Seção C.16 de Silverman, Joseph H. (1992), The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106, New York: Springer-Verlag, MR1329092, ISBN 978-3-540-96203-8, ISBN 978-0-387-96203-0