Funções definidas em trechos

Em matemática, uma função definida em trecho, também conhecida como função definida por partes, é uma função cuja definição depende do valor da variável independente matematicamente, uma função valorada nos reais f de uma variável x é uma relação cuja definição é dada diferentemente sobre disjuntos conjuntos de seu domínio (conhecidos como subdomínios).

A palavra trecho é atambém usada para descrever qualquer propriedade de uma função definida em trechos que sustentam-se para cada parte mas podem não sustentar-se para o domínio inteiro da função. Uma função é diferenciável em trechos ou diferenciável continuamente em trechos se cada parte é diferenciável completamente em seu domínio. Em análise complexa, a noção de uma derivada pode ser substituída por aquela da subderivada para funções em trechos. Apesar das "partes" em uma definição em trechos não necessitarem ser intervalos, uma função não é chamada "linear em trechos" ou "contínua em trechos" ou "diferenciável em trechos" exceto se as partes sejam intervalos.

Notação e interpretação

Gráfico da função valor absoluto, y = |x|.

Funções em trechos são definidas usando notação comum para funções, onde o corpo da função é um conjunto de funções e subdomínios associados. Por exemplo, considere-se a definição em trechos da função valor absoluto:

$|x| \equiv f(x) = \begin{cases} -x, & \mbox{if } x < 0 \\ x, & \mbox{if } x \ge 0 \end{cases}$

Para todos os valores de x menores que zero, a primeira função (−x) é usada, a qual anula o sinal do valor de entrada, fazendo números negativos positivos. Para todos os valores de x maior ou igual a zero, a segunda função (x) é usada, a qual resulta o mesmo valor trivial da entrada.

Considere-se afunção em trechos f(x) definida em certos valores de x:

x	f(x)	Function used
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

Então, de maneira a definir uma função em trechos em um dado valor de entrada, o subdomínio apropriado necessita ser escolhido de maneira a selecionar a função correta e produzir o correto valor resultante.

Continuidade

Uma função em trechos compreendendo diferentes funções quadráticas em ambos os lados $x_0$.

Uma função em trechos é contínua em um dado intervalo se é definida completamente neste intervalo, suas funções constituintes apropriadas são contínuas no intervalo, e não existe descontinuidade em cada ponto final dos subdomínios dentro do intervalo.

A função representada, por exemplo, é completamente contínua em trechos de seus subdomínios, mas não é contínua no domínio inteiro. A função representada contém um salto de descontinuidade em $x_0$.

Exemplos comuns

• Valor absoluto
• Função de Heaviside
• Função linear em trecho
• Variedade diferenciável em trechos (PDIFF, Piecewise DIFFerentiable)
• Spline
• B-spline