Funcional

Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função" .

Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.

A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.

Definições formais

• Seja $\mathbb{V}$ um espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{K}$, então é um funcional qualquer função $\mathbb{V} \to \mathbb{K}$.

Como este espaço vetorial $\mathbb{V}$ (domínio de um funcional) geralmente é de funções , há outra definição específica para este caso:

• Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe $\mathbb{V}$ um único número real .
  • O conjunto $\mathbb{V}$, o domínio, é uma classe de funções.
  • O conjunto de números reais associados com as funções em $\mathbb{V}$ é chamado de conjunto imagem do funcional.

Exemplo

Considere $\mathbb{R}^2$ sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ . Eis algums exemplos de funcionais:

• $l_1(\mathbf{x}) = x_1$
• $l_2(\mathbf{x}) = x_2$
• $l_3(\mathbf{x})= \|\mathbf{x}\|= \sqrt{x_1^2+x_2^2}$
• $l_4(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2, ~~\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ é um vetor dado.

Classificação

• Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se $\alpha$ e $\beta$ são escalares:

$l(\alpha x+\beta y)=\alpha l(x) + \beta l(y)\,$

• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.

• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

• um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.

Ver também

• Espaço dual
• Teorema da representação de Riesz