Funcional
Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função"[1].
Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.
A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.
Índice |
[editar] Definições formais
- Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
, então é um funcional qualquer função
.
Como este espaço vetorial
(domínio de um funcional) geralmente é de funções[2], há outra definição específica para este caso:
- Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe
um único número real[1].
[editar] Exemplo
Considere
sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por
. Eis algums exemplos de funcionais:



é um vetor dado.
[editar] Classificação
- Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se
e
são escalares:
- Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.
- Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
- um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.
[editar] Ver também
[editar] Referências
- ↑ a b FLORES, Ana Paula Ximenes. Cálculo Variacional: aspectos teóricos e aplicações. Disponível em; <http://www.rc.unesp.br/igce/pos/mestrado_profissional/Arquivos/Dissertacoes/Ana%20Paula%20Ximenes%20Flores.pdf>. Acesso em 9 de julho de 2011. Capítulo 2.
- ↑ WOLFRAM ALPHA. Functional.Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/Functional.html>. Acesso em: 9 de julho de 2011.
UNIQ29fd886e43e54633-math-0000001A-QINU
, então é um funcional qualquer
.


é um vetor dado.
e
são escalares: