Funcional

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Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função"^[1].

Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.

A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.

[editar] Definições formais

Seja $\mathbb{V}$ um espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{K}$ , então é um funcional qualquer função $\mathbb{V} \to \mathbb{K}$ .

Como este espaço vetorial $\mathbb{V}$ (domínio de um funcional) geralmente é de funções^[2], há outra definição específica para este caso:

Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe um único número real^[1].
- O conjunto $\mathbb{V}$ , o domínio, é uma classe de funções.
- O conjunto de números reais associados com as funções em $\mathbb{V}$ é chamado de conjunto imagem do funcional.

[editar] Exemplo

Considere $\mathbb{R}^2$ sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ . Eis algums exemplos de funcionais:

$l_1(\mathbf{x}) = x_1$
$l_2(\mathbf{x}) = x_2$
$l_3(\mathbf{x})= \|\mathbf{x}\|= \sqrt{x_1^2+x_2^2}$
$l_4(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=x_1y_1+x_2y_2, ~~\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ é um vetor dado.