Funcional de Minkowski

Em matemática, sobretudo na análise funcional, um funcional de Minkowski faz uma interpretação geométrica dos funcionais norma e semi-norma.

Definição

Seja $X\,$ um espaço vetorial topológico real ou complexo. Um conjunto $S\,$ é dito absorvente se:

$\bigcup_{\lambda>0} \lambda S \supseteq X\,$

onde $\lambda S=\{\lambda x:x\in S\}\,$.

O funcional de Minkowski $p:X\to\mathbb{R}^+\,$ associado a $S\,$ é definido como:

$p(x)=\inf\{\lambda>0: x\in\lambda S\}\,$

• Pode-se mostrar que se $S\,$ é um conjunto equilibrado, convexo e absorvente então $p\,$ é uma semi-norma.
• Se além disto, $S\,$ não contiver nenhum subespaço vetorial não-trivial, então $p\,$ é uma norma.