Funtores plenos e fiéis

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Na teoria de categorias, um funtor fiel (respectivamente um funtor pleno ou cheio) é um funtor que é injetivo (respectivamente sobrejetivo) quando restrito a cada conjunto de morfismos com tendo uma origem e um destino fixados.

Explicitamente, sejam C e D categorias (localmente pequenas) e seja F : CD um funtor de C em D. O funtor F induz uma função

F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))

para cada par de objetos X e Y em C. O funtor F é dito

para cada X e Y em C.

Um funtor fiel não precisa ser injetivo nos objetos nem nos morfismos. Isto é, dois objetos X e X′ podem ser levados a um mesmo objeto em D (é por isso que a imagem de um funtor pleno e fiel não é necessariamente isomorfa a C), e dois morfismos f : XY e f′ : X′ → Y′ (com domínios/codomínios distintos) podem ser levados em um mesmo morfismo em D. Da mesma maneira, um funtor pleno não precisa ser sobrejetivo nos objetos nem nos morfismos. Podem haver objetos em D que não são da forma FX para nenhum X em C. Morfismos entre tais objetos certamente não são obtidos de morfismos em C.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • O funtor esquecimento U : GrpSet é fiel uma vez que cada grupo é levado a um único conjunto e os homomorfismos de grupos são também funções. Esse funtor não é cheio pois existem funções entre grupos que não são homomorfismos de grupos. Uma categoria com um funtor esquecimento para Set é (por definição) uma categoria concreta; em geral, tal funtor esquecimento não é cheio.
  • Seja F : SetSet o funtor que associa a cada conjunto o conjunto vazio e a cada função a função vazia. Então F é cheio, mas não é injetivo nos objetos nem nos morfismos.
  • O funtor inclusão AbGrp é completamente fiel.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]