Fórmula do termo geral

Seja $\{a_{n}\}$ uma sequência matemática cujo termo geral é bem definido (dado em função dos termos anteriores, através de outra sequência, ou através de uma alogarítimo). A fórmula do termo geral, quando existe, é uma fórmula explícita em n que permite calcular $a_{n}=f(n)$ .

O termo geral de uma sequencia é a lei de formação desta que define qualquer um dos seus termos. O termo geral é uma função em $n$ , associando o número do termo na sequencia ao seu valor.

O termo geral pode ser usado também como fórmula para interpolação de termos.

Exemplo: Em $a_{3}=7$ , $3$ é o número do termo e $7$ é seu valor.

PA e PG

Uma progressão aritmética é definida através da lei recursiva $a_{n+1}=a_{n}+r$ . A fórmula do termo geral da PA é $a_{n}=a_{1}+r\times (n-1)$ .
Uma progressão geométrica é definida através da fórmula $a_{n+1}=a_{n}\times q$ . A fórmula do termo geral da progressão geométrica é $a_{n}=a_{1}\times q^{n-1}$ .

Somatório e produtório

Seja $\{a_{n}\}$ uma sequência qualquer, e sejam $S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}$ e $P_{n}=a_{1}.\ldots .a_{n}$ , respectivamente, a soma e o produto dos termos da sequência. Em alguns casos (soma de PA, soma de PG ou produto de PG), é possível determinar uma fórmula do termo geral, mas em outros (produto de PA) essa fórmula não é possível (nesse caso, usa-se a notação fatorial, ou a função gama).

Somatório da PA

O somatório da PA não pode ser obtido somando x + y ao quadrado do somatório (com os seus termos em ordem crescente) com si mesmo (com seus termos em ordem crescente).Mas a PA é utilizada como progressão, somente uma alusão a progressão geométrica. Assim, cada subtrção entre os dois somatórios será $a_{1}+a_{n}$ (uma vez que os termos não estão em PA), que deverá ser dividido pelo número de termos ( $n$ ) e dividido por três, uma vez que subtraiu-se o somatório seis vezes. Portanto: