Gás de Bose

Em mecânica estatística, um gás de bósons é um sistema ideal de partículas que obedece à estatística de Bose-Einstein.

Potencial termodinâmico

Devido aos efeitos de troca, a maneira mais simples de trabalhar com gases quânticos é com o Ensemble Grand-Canônico:

$\mathcal{Z} = \sum_{N=0}^{\infty}\sum_{i}z^{N}e^{-\beta \varepsilon_i}$

que para um gás fica:

$\mathcal{Z} = \sum_{N=0}^{\infty}\sum_{\{n_i\}}\,^{\prime}\prod_{i}z^{n_i}e^{-\beta n_iE_i}$

A segunda soma é restrita ao número total de partículas ser $N$. Uma maneira de fazer tal soma é somar primeiro sobre todos os $N$ possíveis e depois multiplicar todos os níveis. Para um sistema de bósons, qualquer valor de $N$ é permitido, logo:

$\mathcal{Z} = \prod_{i}(1+ze^{-\beta E_i})^{-1}$

O potencial termodinâmico é então:

$-PV(z,\beta) = \Omega(z,\beta)= \frac{1}{\beta}\sum_i\ln (1-ze^{-\beta E_i})$

Se o gás possuir apenas graus de liberdade translacionais em $d$ dimensões (os demais casos podem ser tratados de forma análoga):

$\Omega(z,\beta,V^{(d)}) = \frac{V^{(d)}}{\beta}\frac{2\pi^{d/2}}{h^d\Gamma(d/2)}\int_0^{\infty}p^{d-1}\ln (1-ze^{-\beta p^2/2m})-\frac{1}{\beta}\text{Li}_1(z)$

onde $\Gamma$ é a função gama, $\text{Li}_s(z)$ é a função polilogarítma e $V^{(d)}$ é o volume d-dimensional que o gás ocupa.

$\Omega(z,\beta,V^{(d)}) = -\frac{V^{(d)}(d-1)\pi^{d/2}}{2mh^d}\left(\frac{2m}{\beta}\right)^{d/2+1}\text{Li}_{d/2+1}(z)-\frac{1}{\beta}\text{Li}_1(z)$

Note que a função polilogarítma só está definida para $z$ reais menores ou iguais a 1. O segundo termo que já estava presente na expressão anterior é a contribuição de momento zero, ou seja, do estado de menor energia.

Condensação de Bose-Einstein

O gás de bósons é o sistema mais simples que apresenta o fenômeno de condensação de Bose-Einstein. Para ver esse efeito, escrevemos o número médio de partículas:

$N(z,\beta,V^{(d)}) = -\beta z \frac{\partial \Omega}{\partial z} = \frac{V^{(d)}(d-1)\pi^{d/2}}{h^d}\left(\frac{2m}{\beta}\right)^{d/2}\text{Li}_{d/2}(z)+\text{Li}_0(z)$

O maior valor da função polilogarítma acontece em $z=1$ quando o número de partículas em estados excitados é:

$N^{(p>0)}(z,\beta,V^{(d)}) = \frac{V^{(d)}(d-1)\pi^{d/2}}{h^d}\left(\frac{2m}{\beta}\right)^{d/2}\zeta(d)$

Perceba que para $d>2$ isso é um número finito que é atingido numa certa temperatura $T_0$. Todas as demais

$N^{(p=0)}=N\left[1-\left(\frac{T}{T_0}\right)^{d/2}\right]$

partículas deverão estar no estado fundamental, não importando quantas sejam (contanto que a aproximação de gás continue valendo).