Geometria analítica

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Sistema cartesiano de coordenadas.

Em matemática, a expressão geometria analítica possui dois significados distintos. O significado moderno e avançado se refere à geometria das variedades analíticas.

A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. A geometria anallitica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional.

Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito a definição e representação de formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.

História[editar | editar código-fonte]

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O matemático grego Menecmo resolvia problemas e provava teoremas utilizando um método que tinha forte semelhança com o uso das coordenadas, e foi às vezes afirmado que ele introduziu a geometria analítica .[1] Apolônio de Perga, em De Sectione Determinata, tratou problemas de uma maneira que pode ser chamada de geometria analítica de uma dimensão, com a questão de descobrir pontos de uma reta que com os outros ficavam em certas razões.[2] Além disso, Apolônio em Cônicas desenvolveu um método que é tão parecido com a geometria analítica que seu trabalho é por vezes considerado como uma antecipação ao trabalho de Descartes — em cerca de 1800 anos. Sua aplicação de linhas de referências, um diâmetro e uma tangente é essencialmente igual às utilizações modernas de um sistema de coordenadas, em que as distâncias medidas ao longo do diâmetro a partir do ponto de tangência são as abscissas e os segmentos paralelos à tangente e interceptados entre os eixos e a curva são as ordenadas.


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Temas[editar | editar código-fonte]

Os temas importantes de geometria analítica incluem:

Muitos destes problemas envolvem álgebra linear.

Geometria analítica moderna[editar | editar código-fonte]

A geometria analítica, no contexto da geometria algébrica, é também o nome da teoria das variedades complexas e dos espaços analíticos mais gerais. Está ligada à geometria algébrica, especialmente pelo trabalho de Jean-Pierre Serre.

Referências

  1. Boyer, Carl B.. A History of Mathematics. Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc., 1991. 94–95 p. ISBN 0-471-54397-7
  2. Boyer, Carl B.. A History of Mathematics. Second Edition ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, Inc., 1991. 142 p. ISBN 0-471-54397-7

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de. Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. ISBN 9788587918918
  • Lima, Elon Lages. Geometria analítica e álgebra linear. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008. ISBN 9788524401855
  • Venturi, Jacir J.. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 8 ed. Curitiba: [s.n.]. ISBN 85.85132-48-5
  • Sebastiani, Marcos. Introdução à Geometria Analítica Complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. ISBN 85-244-0218-0

Veja também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

  • Analytic Geometry: Capítulo sobre geometria analítica de um livro de cálculo disponível no site da Whitman College (em inglês)

Leitura complementar[editar | editar código-fonte]

  • Pogorelov, A. V.. Analytical Geometry (em inglês). [S.l.]: Mir Pub, 1984.
  • Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo. Geometria Analítica. [S.l.]: McGraw-Hill, 1987.