Geometria birracional

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Em matemática, geometria birracional é uma parte da geometria algébrica que trata da geometria de uma variedade algébrica que é dependente somente de seu corpo de funções. No caso de dimensão dois, a geometria birracional de superfícies algébricas foi grandemente trabalhada pela escola italiana de geometria algébrica nos anos 1890–1910. Desde aproximadamente 1970 avanços têm sido feitos em dimensões maiores ou iguais a três, dando uma boa teoria de geometria birracional para três dimensões.[1] .

Geometria birracional é em grande parte uma geometria de transformações, mas ela não se encaixa exatamente com o programa de Erlangen. Uma razão é que sua natureza é lidar com transformações que são somente definidas sobre um subconjunto denso e aberto de uma avariedade algébrica. Tais transformações, dadas por funções racionais nas coordenadas, pode ser indefinido e não apenas em pontos isolados em curvas, mas em curvas inteiras em uma superfície, e assim por diante.

Morfismo Birracional[editar | editar código-fonte]

Um morfismo birracional entre variedades itredutíveis V e W é um morfismo tal que sua restrição a um aberto U de V é um isomorfismo sobre um aberto de W.

Um dos primeiros resultados do assunto é o isomorfismo birracional entre o plano projetivo e uma quádrica não singular Q em \mathbb{P}^3. Já neste exemplo pode-se ver conjuntos inteiros onde os morfismos são mal definidos: fixe um ponto P em Q como origem e um plano \mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^3, associe a capa ponto A de Q o ponto de interceção da reta AP com P^2. Esta definição não funciona nos pontos do plano tangente a Q em P, mas fora daí é um isomorfismo.

O grupo de Cremona[editar | editar código-fonte]

Um exemplo é o grupo de Cremona de automorfismos birracionais do plano projetivo. Em termos puramente algébricos, para um dado corpo K, este é o grupo de automorfismos sobre K do corpo K(XY) de funções racionais em duas variáveis. Sua estrutura tem sido analisada desde o século XIX, mas isto é 'grande' (enquanto o grupo correspondente para a reta projetiva consiste somente de transformações de Möbius determinadas por três parâmetros). Isto é ainda tema de pesquisa.

Referências

  1. Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge Tracts in Mathematics, 134, Cambridge University Press, MR1658959, ISBN 978-0-521-63277-5, Introdução.

Ver também[editar | editar código-fonte]