Geometria

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Uma ilustração do Teorema de Desargues, um resultado importante na geometria euclidiana e projetiva.
Oxyrhynchus papyrus (P.Oxy. I 29) mostrando um fragmento dos Elementos de Euclides.

A Geometria (em grego antigo: γεωμετρία; geo- "terra", -metria "medida") é um ramo da matemática preocupado com questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço. Um matemático que trabalha no campo da geometria é denominado de geômetra. A geometria surgiu independentemente em várias culturas antigas como um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume, sendo que o aparecimento de elementos de uma ciência matemática formal é no mínimo tão antigo quanto Tales (século VI a.C.). Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu um padrão que perdurou por séculos.[1] Arquimedes desenvolveu técnicas engenhosas para calcular áreas e volumes, antecipando em várias maneiras o moderno cálculo integral. O campo da astronomia, especialmente o mapeamento das estrelas e planetas na esfera celestial e a descrição das relações entre os movimentos dos corpos celestiais, foi uma das mais importantes fontes de problemas geométricos durante os mil e quinhentos anos seguintes. Tanto a geometria quanto a astronomia foram consideradas no mundo clássico parte do Quadrivium, um subgrupo das sete artes liberais cujo domínio era considerado essencial para o cidadão livre.

Como mostrado por Arquimedes, uma esfera tem 2/3 do volume de seu cilindro circunscrito.
A geometria esférica é um exemplo de geometria não-euclidiana. Ela tem aplicações práticas em navegação e astronomia.

A partir da experiência, ou, eventualmente, intuitivamente, as pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que são denominadas axiomas de geometria (como, por exemplo, os axiomas de Hilbert). Esses axiomas não são provados, mas podem ser usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas de teoremas.

A influência da geometria sobre as ciências físicas foi enorme. Como exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas — relações musicais —, ele afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática, como álgebra, puderam ser transformados em problemas de geometria (e vice-versa), muitas vezes conduzindo à simplificação das soluções. (ver geometria analítica)

História[editar | editar código-fonte]

Origens da geometria[editar | editar código-fonte]

Egito[editar | editar código-fonte]

Ilustração do ensino da Geometria, dos Elementos de Euclides.

A matemática surgiu de necessidades básicas, em especial da necessidade econômica de contabilizar diversos tipos de objetos. De forma semelhante, a origem da geometria (do grego geo =terra + metria= medida, ou seja, "medir terra") está intimamente ligada à necessidade de melhorar o sistema de arrecadação de impostos de áreas rurais, e foram os antigos egípcios que deram os primeiros passos para o desenvolvimento da disciplina.

Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo. A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra, gerando conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada.

A dimensão desses conflitos pode ser apreciada na repercussão que se encontra no Livro dos Mortos do Egito, onde uma pessoa acabada de falecer tem de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra. Era um pecado punível com ter o coração comido por uma besta horrível chamada o «devorador». Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-la e pagarem os impostos devidos na medida da sua extensão aos governantes.

Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria. Estes agrimensores, ou esticadores de corda (assim chamados devido aos instrumentos de medida e cordas entrelaçadas concebidas para marcar ângulos retos), acabaram por aprender a determinar as áreas de lotes de terreno dividindo-os em retângulos e triângulos.

Acredita-se em geral que a origem da geometria se situa no Egito, o que é natural, pois, para a construção das pirâmides e outros monumentos desta civilização, seriam necessários conhecimentos geométricos. Estudos mais recentes contrariam esta opinião e referem que os egípcios foram buscar aos babilónios muito do seu saber.

Os três problemas clássicos da geometria[2] [editar | editar código-fonte]

Ao longo da história, a Geometria glorifica dois problemas que se tornaram clássicos: quadratura do círculo e duplicação do cubo.

O primeiro problema: A quadratura do círculo[editar | editar código-fonte]

O Problema da Quadratura do Circulo.

O problema da quadratura do círculo foi proposto por Anaxágoras (499-428 a.C.): dado um círculo, construir um quadrado de mesma área. Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria, propunham solução apenas com régua (sem escala) e compasso.

Os gregos desenvolviam a Matemática, não com escopo prático, utilitarista, mas movidos pelo desafio intelectual, pelo “sabor do saber” e pelo prazer intrínseco, já que a Matemática enseja o apanágio da lógica, da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento.

O segundo problema: A duplicação do cubo[editar | editar código-fonte]

Representação Gráfica do Problema da Duplicação do Cubo.

Conta uma lenda que, em 429 a.C., durante o cerco espartano na Guerra do Peloponeso, uma peste dizimou um quarto da população de Atenas, matando inclusive Péricles, e que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo, em Delfos, para inquirir como a peste poderia ser eliminada.

O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplicado. Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas. A peste, em vez de se amainar, recrudesceu. Qual o erro? Em vez de dobrar, os atenienses octuplicaram o volume do altar. A complexidade do problema deve-se ao fato de que os gregos procuravam uma solução geométrica, usando régua (sem escala) e compasso.

Infere-se que os dois problemas clássicos da Geometria — a quadratura do círculo e a duplicação do cubo — têm solução trivial por meio da Álgebra.

E a solução geométrica? Em 1837, Pierre L. Wantzel, um jovem professor e matemático francês de apenas 23 anos, demonstra que os dois problemas em tela não podem ser resolvidos utilizando-se apenas régua e compasso.

É importante mencionar que os gregos, além de não conhecerem a Álgebra, desenvolviam a Matemática como um desafio intelectual ou pelo sublime prazer de pensar.

O terceiro problema: A trissecção do ângulo[editar | editar código-fonte]

A trissecção do ângulo foi o terceiro dos problemas clássicos da antiguidade grega. Pretendia-se trissectar um ângulo, isto é, dividi-lo em três partes perfeitamente iguais usando apenas uma régua não graduada e um compasso.[3]

A primeira axiomatização da geometria[editar | editar código-fonte]

Estátua de Euclides.

Os gregos antigos desenvolveram a estrutura formal da geometria, incluindo-se aí o uso de provas matemáticas para as afirmações e a distinção entre axiomas (e postulados), definições e teoremas. Por volta do ano 300 a.C, Euclides, um matemático grego que vivia em Alexandria, escreveu um livro em 13 volumes intitulado Os Elementos (Στοιχεῖα), que expôs de forma sistemática e estruturada grande parte do conhecimento geométrico acumulado pelos estudos de diversos matemáticos gregos.

A criação da geometria analítica[editar | editar código-fonte]

No século XVII, a criação da geometria analítica pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat conectou a álgebra à geometria,[4] e deu grande ímpeto ao desenvolvimento do cálculo infinitesimal.[5]

Descoberta das geometrias não euclidianas[editar | editar código-fonte]

“A suposição de que (em um triângulo) a soma dos três ângulos é menor que 180° leva a uma curiosa geometria, muito diferente da nossa, mas completamente consistente, que desenvolvi para a minha inteira satisfação.” — Carl Gauss[6] [7]

Houve muita controvérsia em torno das geometrias não euclidianas. Por vezes, os teoremas em geometria não euclidiana eram tão exóticos que, apesar de não encontrarem inconsistências lógicas, matemáticos a tomavam como absurda.[8]

Programa de Erlangen[editar | editar código-fonte]

O matemático Felix Klein.
“Dado qualquer grupo de transformações no espaço que inclui o grupo principal como um subgrupo, então a teoria invariante para esse grupo fornece um tipo definido de geometria, e todas as geometrias possíveis podem ser obtidas dessa mesma maneira.” — Felix Klein[9]

Em 1871, enquanto em Göttingen, Felix Klein fez descobertas importantes em geometria. Klein fez uso da teoria dos invariantes para unir a geometria à teoria dos grupos.[10] Ele publicou dois artigos sobre a chamada geometria não euclidiana, mostrando que as geometrias euclidiana e não euclidianas podiam ser consideradas casos especiais de uma superfície projetiva com uma seção cônica específica adjunta. Isso teve o corolário notável de que a geometria não euclidiana era consistente se, e somente se, a geometria euclidiana o fosse, colocando as geometrias euclidiana e não euclidianas em pé de igualdade (uma vez que se fosse encontrada uma inconsistência em qualquer uma delas, isto acarretaria que a outra também é inconsistente), e terminando com toda a controvérsia que girava em torno das geometrias não euclidianas.[11] [12] [13]

Os trabalhos de Grothendieck[editar | editar código-fonte]

O matemático Alexander Grothendieck.

No século XX, o matemático Alexander Grothendieck usou teoria das categorias e topologia para generalizar a geometria algébrica, o que lhe permitiu aplicar ferramentas de geometria e topologia à teoria dos números.[14] Essa união é conhecida pelo nome de geometria aritmética.[15]

Os trabalhos de Mandelbrot[editar | editar código-fonte]

O matemático Benoit Mandelbrot.

Na década de 1960, Benoît Mandelbrot começou a escrever sobre auto-similaridade em artigos tais como "Quão Longa é a Costa da Grã-Bretanha? Auto-Similaridade Estatística e Dimensão Fracionária", e em 1975, ele cunhou o termo fractal, e contribuiu para estimular o campo agora conhecido por geometria fractal.[16] [17] [18] [19]

Ramos[editar | editar código-fonte]

Ver também: Geometria sintética, Geometria convexa, Geometria computacional e Geometria discreta

Geometria clássica[editar | editar código-fonte]

De acordo com Henri Poincaré,[20] um espaço geométrico clássico caracteriza-se por possuir as propriedades de ser:

  1. Contínuo
  2. Infinito
  3. Tri-dimensional
  4. Homogêneo (isto é, com as mesmas propriedades em toda parte)
  5. Isotrópico (isto é, sem direção privilegiada).

Topologia e geometria[editar | editar código-fonte]

O campo da topologia, em que houve enorme desenvolvimento no século XX, é em sentido técnico um tipo de geometria transformacional, em que as transformações que preservam as propriedades das figuras são os homeomorfismos (por exemplo, isto difere da geometria métrica, em que as transformações que não alteram as propriedades das figuras são as isometrias). Isto tem sido frequentemente expresso sob a forma do dito "a topologia é a geometria da folha de borracha".[21] [22] [23]

Geometria diferencial[editar | editar código-fonte]

A geometria diferencial é a disciplina matemática que faz uso de técnicas de cálculo diferencial e cálculo integral, bem como de álgebra linear e álgebra multilinear, para estudar problemas de geometria. Ela é de vital importância no estudo de física teórica.[24]

Geometria algébrica[editar | editar código-fonte]

A geometria algébrica é o ramo da matemática que iniciou como o estudo de sistemas de equações polinomiais em dimensões maiores que 3 e que evoluiu da geometria analítica para uma união de álgebra abstrata, topologia e análise complexa.[25] A demonstração de Andrew Wiles do último teorema de Fermat, um problema de teoria dos números, usou muitas ideias de geometria algébrica descobertas e desenvolvidas a partir do século XX.[26]

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Concha de um nautilus: O formato é aproximadamente uma espiral logarítmica.
Spacetime curvature.png

A geometria surgiu da necessidade de resolver problemas práticos de agricultura, astronomia, arquitetura e engenharia, e de fato, ainda hoje conhecimentos de geometria são aplicados nos mais variados campos do conhecimento humano, tais como: física, química, geologia, astronomia, engenharia, biologia, navegação, cartografia e fotografia.[27] [28] [29] No entanto, cabe ressaltar que a geometria é considerada parte da matemática pura, por, embora tenha começado como uma ciência prática e encontre aplicações em muitos ramos fora da matemática, ela é comumente desenvolvida abstraída da realidade, como uma teoria matemática pela qual matemáticos estudam motivados por seu apelo intrínseco.[30]

Física[editar | editar código-fonte]

Imagens chegam até nós afetadas pelo efeito lente gravitacional.

Das observações astronômicas de Kepler (mais tarde explicadas pelos trabalhos de Newton) foi descoberto que os planetas seguem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos. As seções cônicas, estudadas pelos gregos antigos encontraram aplicações em mecânica celeste 1800 anos depois de serem por eles descobertas.[31] A linguagem da trigonometria euclidiana é amplamente utilizada no estudo da óptica, em que o conceito de raios de luz pode ser usado para tratar de diversos fenômenos ópticos, como por exemplo, a difração da luz.[32]

Apesar de estudiosos tais como Carl Gauss e Nikolai Lobachevsky terem considerado a possibilidade de o espaço físico não ser euclidiano,[33] [34] as geometrias não euclidianas eram quase que apenas consideradas curiosidades intelectuais abstratas antes de Albert Einstein encontrar usos para elas em teorias de física.[35] [36] Na teoria geral da relatividade, interpreta-se que o espaço torna-se "curvo" na presença de campos gravitacionais.[37]

Química[editar | editar código-fonte]

Cubane-3D-balls.png

A geometria de uma molécula (como os átomos que formam uma molécula estão dispostos espacialmente) determina muitas das propriedades químicas e físicas de uma substância.[38] Apesar disso, poucos trabalhos que investigam as relações entre a geometria e química foram realizados por matemáticos:

"É perfeitamente compreensível o fato de os cristalógrafos estarem interessados pelos grupos de simetria de cristais e por outras estruturas tridimensionais, mas é difícil explicar por que este tema tem sido amplamente ignorado pelos matemáticos. Talvez seja uma questão de atitude; os matemáticos há muito tempo consideram como humilhante trabalhar em problemas relacionados com a 'geometria elementar' em duas ou três dimensões, apesar do fato de que é precisamente esse tipo de matemática que é de valor prático." —Branko Grünbaum e G. C. Shephard, em Handbook of applicable mathematics - Volume 5, Parte 2, Página 728.

Cartografia[editar | editar código-fonte]

Projeção ortográfica de uma porção da superfície terrestre.

Projeções cartográficas são transformações que mapeiam pontos de uma superfície não plana (geralmente, por simplicidade, assume-se a forma de uma esfera ou elipsoide como o formato do planeta) para os pontos de um plano. É impossível representar a superfície da Terra em um plano sem que ocorram distorções.[39]

Engenharia[editar | editar código-fonte]

A geometria fractal é aplicada no projetos de antenas fractais usadas em comunicação sem fio multi-banda compacta — a propriedade de preenchimento do espaço dos fractais é explorada de modo a conseguir-se miniaturizações cada vez mais expressivas.[40] Conhecimentos a respeito de fractais encontram aplicações também no entendido da porosidade do solo, atrito entre objetos, e em engenharia aeronáutica.[41] [42]

Biologia[editar | editar código-fonte]

Uma colmeia.

Já na Antiguidade estudiosos perceberam padrões geométricos na natureza. Pappus viveu no século III d.C. e escreveu: "As abelhas foram dotadas de uma certa premeditação geométrica .... Pois, havendo apenas três figuras que por elas mesmas pode-se preencher o espaço em volta de um ponto, viz. o triângulo, o quadrado e o hexágono, as abelhas sabiamente escolhem para a sua estrutura aquela que contém o maior número de ângulos, suspeitando de fato que ela pode conter mais mel do que qualquer uma das outras duas."[43]

Navegação[editar | editar código-fonte]

Curva loxodrómica na esfera.

A obra do matemático português Pedro Nunes, que viveu no século XVI, voltou-se para o desenvolvimento da teoria náutica e resolução dos problemas que se apresentavam no período das Grandes Navegações Portuguesas,[44] tendo resolvido problemas tais como o de determinar em que longitude se está quando em alto mar,[45] e lançado luz sobre o tema das linhas de rumo (curvas loxodrómicas), extremamente úteis para não se perder a rota quando se navega em alto mar (e, portanto, sem referências costeiras).[46]

Mais exemplos[editar | editar código-fonte]

Problemas em aberto[editar | editar código-fonte]

Existem muitos problemas em aberto em geometria. Alguns dos quais podem ser entendidos por leigos, por exemplo:[47]

Hadwiger covering.svg
  • Conjectura de Hadwiger: Toda figura convexa n-dimensional pode ser completamente coberta por 2n cópias menores dela mesma? (em aberto desde 1955)

Na figura: Um triângulo pode ser coberto por três cópias menores de si mesmo, mas um quadrado exige quatro cópias menores.

Inscribed square.svg
  • Conjectura de Toeplitz: Toda curva plana simples fechada contém os quatro vértices de um quadrado? (em aberto desde 1911)

Na figura: Todos os vértices de alguns quadrados fazem parte da curva.

  • Conjectura de Erdős–Szekeres: Para n ≥ 3, qualquer conjunto de 2n−2 + 1 pontos no plano, em posição geral (disso exclui-se estarem todos alinhados por exemplo), contém n pontos que formam um polígono convexo?[48] (em aberto desde 1935)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikcionário
O Wikcionário possui o verbete geometria.

Notas e referências

  1. Martin J. Turner,Jonathan M. Blackledge,Patrick R. Andrews (1998). "Fractal geometry in digital imaging". Academic Press. p.1. ISBN 0-12-703970-8
  2. Sobre a quadratura do círculo e duplicação do cubo: Jacir J. Venturi, Álgebra Vetorial e Geometria Analítica ( 9ª ed.), pág.22 e 23 (acesso gratuito)
  3. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Trisecting_an_angle.html
  4. Thomas' Calculus (10th Edition)
  5. William Le Roy Hart. Analytic Geometry and Calculus. [S.l.]: D. C. Heath & Comp., 1963. p. 3.
  6. Esta é uma tradução livre para o português de uma tradução para o inglês da frase original em alemão. A tradução para o inglês: “The assumption that (in a triangle) the sum of the three angles is less than 180° leads to a curious geometry, quite different from ours, but thoroughly consistent, which I have developed to my entire satisfaction.” (Carl Gauss, em carta particular, 1824.)
  7. The Evolving Universe and the Origin of Life: The Search for Our Cosmic Roots (em inglês). [S.l.]: Springer, 2008. p. 159. vol. 737. ISBN 9780387095349
  8. Lucas, J.R.. Conceptual Roots of Mathematics (em inglês). [S.l.]: Routledge, 2002. p. 39. ISBN 9781134622276
  9. Esta é uma tradução livre para o português de uma tradução para o inglês da frase original em alemão. A tradução para o inglês: “Given any group of transformations in space that includes the main group as a subgroup, the invariant theory for this group casts a definite type of geometry, and every possible geometry can be obtained in this same way.” (Felix Klein, em Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint.)
  10. Greatest Mathematicians of All Time
  11. Felix Christian Klein
  12. Gowers, Timothy Gowers; June Barrow-Green, Imre Leader. The Princeton Companion to Mathematics (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press, 2010. p. 91. ISBN 9781400830398
  13. Prenowitz, Walter; Jordan, Meyer. Basic Concepts of Geometry (em inglês). [S.l.]: Rowman & Littlefield, 1989. p. 91. ISBN 9780912675480
  14. Verbete da Encyclopædia Britannica sobre Grothendieck ("Last Updated 8-16-2013") disponível on-line em http://www.britannica.com/EBchecked/topic/246803/Alexandre-Grothendieck
  15. Review of The Apprenticeship of a Mathematician, by Andreé Weil
  16. http://books.google.com.br/books?id=dk2vruTv0_gC&pg=PR7#v=onepage&q&f=false
  17. http://www.nytimes.com/2010/10/17/us/17mandelbrot.html?_r=0
  18. http://www.unmappedmag.com/issue-15/is-britains-coastline-infinite/
  19. http://www.bbc.co.uk/dna/place-london/plain/A425972
  20. Henri Poincaré. La Science et l'Hypothèse. [S.l.]: Champs Flammarion, 1902.
  21. Luiz Pantoja, Camila Peres, Pedro de Sá / Recreações Topológicas / pg. 4
  22. Denise Silveira / O estágio curricular supervisionado na escola de educação básica: diálogo com professores que acolhem estagiários / pg. 17
  23. Vincenzo Bongiovanni, Ana Paula Jahn / De Euclides às geometrias não euclidianas / pg. 12
  24. Shiing-Shen Chern, ‎Weihuan Chen, ‎Kai Shue Lam. Lectures on Differential Geometry, p. 335.
  25. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/14929/algebraic-geometry
  26. Eric W. Weisstein - CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition, p. 48
  27. Debra Anne Ross. Master Math - Geometry: including everything from triangles, polygons, proofs, and deductive reasoning to circles, solids, similarity, and coordinate geometry. [S.l.]: Thomson/Delmar Learning, 28 July 2004. 1 p. ISBN 978-1-56414-667-0
  28. Robert Morris - Geometry in Schools, página 173.
  29. Emmanouil Vairaktaris, Constantinos Demakos & George Metaxas - Geometry in structural mechanics education revisited
  30. Prefácio de "New Scientific Applications of Geometry and Topology (Proceedings of Symposia in Applied Mathematics)" por Witt L. Sumners e Nicholas R. Cozzarelli
  31. Howard Whitley Eves - Great Moments in Mathematics (before 1650), página 198.
  32. Ernest S. Abers, Charles F. Kennel - Matter in motion: The spirit and evolution of physics, página 261.
  33. Is Space Flat? Nineteenth-Century Astronomy and Non-Euclidean Geometry
  34. Geometry and Astronomy: Pre-Einstein Speculations of Non-Euclidean Space
  35. University of Michigan. Mental Health Research Institute Staff Publications (em inglês). [S.l.]: UM Libraries, 1967. vol. 2. ISBN
  36. Lauer, Helen; Anyidoho, Kofi. Reclaiming the Human Sciences and Humanities Through African Perspectives (em inglês). [S.l.]: African Books Collective, 2012. p. 153. vol. 1. ISBN 9789988647339
  37. Gibilisco, Stan. Understanding Einstein's Theories of Relativity: Man's New Perspective on the Cosmos (em inglês). [S.l.]: Courier Dover Publications, 1983. p. 153. ISBN 9780486266596
  38. Raymond Chang. Química Geral. [S.l.]: McGraw Hill Brasil, 1975. 300 p. ISBN 978-85-63308-17-7
  39. Alekseĭ Vasilʹevich Maslov, Aleksandr Vasilʹevich Gordeev, I︠U︡riĭ Grigorʹevich Batrakov. Geodetic surveying. [S.l.]: Mir Publishers, 1984. 25 p.
  40. Design and Analysis of Compact Multiband Fractal Antenna
  41. http://www.tryengineering.org/ask-expert/what-application-geometry-civil-engineering
  42. Mazda Alim Marvasti - Applications of fractal geometry in aerospace engineering
  43. http://www.hellenicaworld.com/Greece/Science/en/Pappus.html
  44. http://www.scielo.br/pdf/ciedu/v10n3/17.pdf
  45. https://www.mar.mil.br/dhn/bhmn/download/Cap16.pdf
  46. http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/rumos.pdf
  47. Victor Klee - UNSOLVED PROBLEMS IN INTUITIVE GEOMETRY
  48. http://scientificadvances.co.in/admin/img_data/147/images/[6]%20JPAMAA%2090715%20Knut%20Dehnhardt%20et%20al.%2069-86.pdf