Grupo abeliano

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Em álgebra abstrata, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo (G,*) em que a*b = b*a para quaisquer a e b em G.[1] Em outras palavras, a aplicação da operação binária não depende da ordem dos elementos do grupo. Os grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel.[2] Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (ou não-comutativos).

Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos finitos são bem compreendidos. Por outro lado, os grupos abelianos infinitos remanesçam um assunto da pesquisa atual.

Notação[editar | editar código-fonte]

Há duas convenções principais para os grupos abelianos - aditivos e multiplicativos.

Convenção Operação Identidade Potência Inverso Produto
Adição x + y 0 nx x GH
Multiplicação x * y ou xy e ou 1 xn x −1 G × H

A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os módulos. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente. [1]

Exemplos: Cada grupo cíclico G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então xy = aman = am + n = an + m = anam = yx.

Assim os inteiros, Z, dão forma a um grupo abeliano sob a adição, como os inteiros módulo n, Z/nZ.

Cada anel é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um anel comutativo os elementos invertíveis (também chamados de unidades), dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.

De fato, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal, de modo que cada um de tais subgrupos dá origem a um grupo quociente. Os subgrupos, os quocientes, e as somas diretas de grupos abelianos são também abelianos.

As matrizes, mesmo matrizes invertíveis, não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes arbitrárias de ordem maior ou igual a dois não é comutativa.

Tabela multiplicativa[editar | editar código-fonte]

Para verificar que um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) – conhecida como uma tabela de Cayley - pode ser construída em uma forma similar a uma tabela de multiplicação. Se o grupo for denotado por G = {g_1 = e, g_2, \ldots, g_n}, sua operação por \cdot, a entrada (i, j) desta tabela é o produto g_i \cdot g_j. O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica em relação à diagonal principal (isto é, se a matriz for uma matriz simétrica).

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se n for um número natural e x for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, então nx pode ser definido (indutivamente) como x + x + \ldots + x e (-n)x = -(nx). Deste modo, G transforma-se em um módulo sobre o anel Z dos inteiros.[1] De fato, os demais Z-módulos podem ser identificados com os grupos abelianos.

Os teoremas sobre os grupos abelianos (isto é módulos sobre o domínio de ideais principais Z) podem frequentemente ser generalizados aos teoremas a respeito de módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados.

Se f, g: O → H de G são dois homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, então sua soma f + g, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x), é também um homomorfismo (isto não é verdadeiro se H for um grupo não-abeliano). O conjunto Hom(G, H) de todos os homomorfismos do grupo G para o grupo H torna-se assim um grupo abeliano.

Grupos abelianos finitos[editar | editar código-fonte]

O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos estabelece que todo grupo abeliano finito G pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem prima. Este é um caso especial do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados no caso em que G tem ordem livre de torsão igual a 0.

O grupo cíclico \mathbb{Z}_{mn} de ordem mn é isomórfo ao produto direto de \mathbb{Z}_{m} e \mathbb{Z}_{n} se e somente se m e n são coprimos. Consequentemente qualquer grupo abeliano G pode ser escrito como um produto direto da forma

\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}

em uma das seguintes formas canônicas:

  • Os números k1,...,ku são potências de primos.
  • O inteiro k1 divide k2, que divide k3 e assim sucessivamente até ku.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72 = 2³ 3². Tem-se o grupo cíclico \mathbb{Z}_{72} = \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{9}.

Os demais grupos podem ser determinados pelas duas formas de escrever (como produtos de grupos cíclicos em que cada um é de ordem múltipla do anterior, ou como produtos de potências de números primos).

Como produtos de potências, temos as seguintes (outras) decomposições de 72:

72 = 23 x 3 x 3 = 2 x 22 x 32 = 2 x 22 x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 32 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Como sequências de números em que o seguinte é múltiplo do anterior, temos as decomposições de 72:

72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 3 x 24 = 6 x 12 = 2 x 6 x 6

Ou seja, os grupos de ordem 72 que não são cíclicos são:

\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{36} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{9}
\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{18} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{9}
\mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{24} = \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}
\mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{12} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}
\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{6} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}

Grupo abelianos de ordem pequena[editar | editar código-fonte]

Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.

Ordem Grupo Subgrupos Propriedades Diagrama de ciclos
1 grupo trivial = Z1 = S1 = A2 - várias propriedades são válidas trivialmente
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2 Z2 = S2 = Dih1 - simples, o menor grupo não trivial
GroupDiagramMiniC2.svg
3 Z3 = A3 - simples
GroupDiagramMiniC3.svg
4 Z4 Z2   
GroupDiagramMiniC4.svg
Klein 4 = Z2 × Z2 = Dih2 Z2 (3) o menor gropo não cíclico
GroupDiagramMiniD4.svg
5 Z5 - simples
GroupDiagramMiniC5.svg
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC6.svg
7 Z7 - simples
GroupDiagramMiniC7.svg
8 Z8 Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC8.svg
Z4 × Z2 Z 2
2
 
, Z4 (2), Z2 (3)
 
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Z 3
2
 
Z 2
2
 
(7) , Z2 (7)
os elementos não triviais correspondem aos pontos do plano de Fano, e os subgrupos Z2 × Z2 às rectas
GroupDiagramMiniC2x3.svg
9 Z9 Z3  
GroupDiagramMiniC9.svg
Z 2
3
 
Z3 (4)  
GroupDiagramMiniC3x2.svg
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
GroupDiagramMiniC10.svg
11 Z11 - simples
GroupDiagramMiniC11.svg
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC12.svg
Z6 × Z2 = Z3 × Z 2
2
 
Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z 2
2
 
 
GroupDiagramMiniC2C6.svg
13 Z13 - simples
GroupDiagramMiniC13.svg
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
GroupDiagramMiniC14.svg
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3 multiplicação de nimbers
GroupDiagramMiniC15.svg
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC16.svg
Z 4
2
 
Z2 (15) , Z 2
2
 
(35) , Z 3
2
 
(15)
 
GroupDiagramMiniC2x4.svg
Z4 × Z 2
2
 
Z2 (7) , Z4 (4) , Z 2
2
 
(7) , Z 3
2
 
, Z4 × Z2 (6)
 
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z 2
2
 
, Z8 (2) , Z4 × Z2
 
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Z 2
4
 
Z2 (3), Z4 (6) , Z 2
2
 
, Z4 × Z2 (3)
 
GroupDiagramMiniC4x2.svg

Relação com outros tópicos matemáticos[editar | editar código-fonte]

A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, dá forma a uma categoria, o protótipo de uma categoria abeliana. Esta categoria é denominada Ab.

Muitos grupos abelianos grandes carregam uma topologia natural, tornado-se grupos topológicos.

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. a b c John A. Beachy, Introductory Lectures on Rings and Modules, 0.3 Abelian Groups [em linha]
  2. Jacobson (2009), p. 41

Referências[editar | editar código-fonte]