Grupo abeliano

Em álgebra abstrata, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo $(G,*)$ em que $a*b = b*a$ para quaisquer $a$ e $b$ em $G$. Em outras palavras, a aplicação da operação binária não depende da ordem dos elementos do grupo. Os grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel. Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (ou não-comutativos).

Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos finitos são bem compreendidos. Por outro lado, os grupos abelianos infinitos remanesçam um assunto da pesquisa atual.

Notação

Há duas convenções principais para os grupos abelianos - aditivos e multiplicativos.

Convenção	Operação	Identidade	Potência	Inverso	Produto
Adição	x + y	0	nx	−x	G ⊕ H
Multiplicação	x * y ou xy	e ou 1	xn	x −1	G × H

A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os módulos. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente.

Exemplos: Cada grupo cíclico G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então xy = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = yx.

Assim os inteiros, Z, dão forma a um grupo abeliano sob a adição, como os inteiros módulo n, Z/nZ.

Cada anel é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um anel comutativo os elementos invertíveis (também chamados de unidades), dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.

De fato, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal, de modo que cada um de tais subgrupos dá origem a um grupo quociente. Os subgrupos, os quocientes, e as somas diretas de grupos abelianos são também abelianos.

As matrizes, mesmo matrizes invertíveis, não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes arbitrárias de ordem maior ou igual a dois não é comutativa.

Tabela multiplicativa

Para verificar que um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) – conhecida como uma tabela de Cayley - pode ser construída em uma forma similar a uma tabela de multiplicação. Se o grupo for denotado por $G = {g_1 = e, g_2, \ldots, g_n}$, sua operação por $\cdot$, a entrada $(i, j)$ desta tabela é o produto $g_i \cdot g_j$. O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica em relação à diagonal principal (isto é, se a matriz for uma matriz simétrica).

Propriedades

Se n for um número natural e x for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, então nx pode ser definido (indutivamente) como $x + x + \ldots + x$ e $(-n)x = -(nx)$. Deste modo, G transforma-se em um módulo sobre o anel Z dos inteiros. De fato, os demais Z-módulos podem ser identificados com os grupos abelianos.

Os teoremas sobre os grupos abelianos (isto é módulos sobre o domínio de ideais principais Z) podem frequentemente ser generalizados aos teoremas a respeito de módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados.

Se f, g: O → H de G são dois homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, então sua soma f + g, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x), é também um homomorfismo (isto não é verdadeiro se H for um grupo não-abeliano). O conjunto Hom(G, H) de todos os homomorfismos do grupo G para o grupo H torna-se assim um grupo abeliano.

Grupos abelianos finitos

O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos estabelece que todo grupo abeliano finito G pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem prima. Este é um caso especial do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados no caso em que G tem ordem livre de torsão igual a 0.

O grupo cíclico $\mathbb{Z}_{mn}$ de ordem mn é isomórfo ao produto direto de $\mathbb{Z}_{m}$ e $\mathbb{Z}_{n}$ se e somente se m e n são coprimos. Conseqüentemente qualquer grupo abeliano G pode ser escrito como um produto direto da forma

$\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}$

em uma das seguintes formas canônicas:

• Os números k₁,...,k_u são potências de primos.
• O inteiro k₁ divide k₂, que divide k₃ e assim sucessivamente até k_u.

Exemplo

Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72 = 2³ 3². Tem-se o grupo cíclico $\mathbb{Z}_{72} = \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{9}$.

Os demais grupos podem ser determinados pelas duas formas de escrever (como produtos de grupos cíclicos em que cada um é de ordem múltipla do anterior, ou como produtos de potências de números primos).

Como produtos de potências, temos as seguintes (outras) decomposições de 72:

72 = 2³ x 3 x 3 = 2 x 2² x 3² = 2 x 2² x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3² = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

Como sequências de números em que o seguinte é múltiplo do anterior, temos as decomposições de 72:

72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 3 x 24 = 6 x 12 = 2 x 6 x 6

Ou seja, os grupos de ordem 72 que não são cíclicos são:

$\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{36} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{9}$

$\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{18} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{9}$

$\mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{24} = \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}$

$\mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{12} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}$

$\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{6} = \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{3} \times \mathbb{Z}_{3}$

Grupo abelianos de ordem pequena

Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.

Ordem	Grupo	Subgrupos	Propriedades	Diagrama de ciclos
1	grupo trivial = Z1 = S1 = A2	-	várias propriedades são válidas trivialmente
2	Z2 = S2 = Dih1	-	simples, o menor grupo não trivial
3	Z3 = A3	-	simples
4	Z4	Z2
	Klein 4 = Z2 × Z2 = Dih2	Z2 (3)	o menor gropo não cíclico
5	Z5	-	simples
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	simples
8	Z8	Z4 , Z2
	Z4 × Z2	Z 2 2 , Z4 (2), Z2 (3)
	Z 3 2	Z 2 2  (7) , Z2 (7)	os elementos não triviais correspondem aos pontos do plano de Fano, e os subgrupos Z2 × Z2 às rectas
9	Z9	Z3
	Z 2 3	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	simples
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z 2 2	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z 2 2
13	Z13	-	simples
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3	multiplicação de nimbers
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2
	Z 4 2	Z2 (15) , Z 2 2  (35) , Z 3 2  (15)
	Z4 × Z 2 2	Z2 (7) , Z4 (4) , Z 2 2  (7) , Z 3 2 , Z4 × Z2 (6)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z 2 2 , Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z 2 4	Z2 (3), Z4 (6) , Z 2 2 , Z4 × Z2 (3)

Relação com outros tópicos matemáticos

A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, dá forma a uma categoria, o protótipo de uma categoria abeliana. Esta categoria é denominada Ab.

Muitos grupos abelianos grandes carregam uma topologia natural, tornado-se grupos topológicos.

Referências

• Jacobson, Nathan. Basic Algebra I. 2nd ed. [S.l.]: Dover Publications, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1