Grupo de Poincaré

Na física e na matemática, o Grupo de Poincaré, criado pelo matemático francês Henri Poincaré, é um grupo de isometrias no espaço de Minkowski.

Definição

Até mesmo o cubo de Rubik pode ser visto como um puzzle referente a um determinado grupo de permutação.

O grupo de Poincaré pode ser definido como um grupo de Lie não compacto com dez dimensões. O grupo abeliano das translações é um subgrupo normal enquanto que o grupo de Lorentz é um subgrupo, o estabilizador de um ponto. Então o grupo de Poincaré é o grupo afim do grupo de Lorentz, o produto semidireto das translações e das transformações de Lorentz

$\mathbf{R}^{1,3} \rtimes O(1,3).\,$

Outra forma de definir é estabelecendo que o grupo de Poincaré é uma extensão de grupo do grupo de Lorentz por um vetor de representação de grupo.

Em acordo com o programa de Erlangen, a geometria do espaço de Minkowski é definida pelo grupo de Poincaré: o espaço de Minkowski é considerado um espaço homogêneo para o grupo.

Álgebra de Poincaré

A Álgebra de Poincaré é a álgebra de Lie do grupo de Poincaré e é dada pelas relações de comutação:

• $[P_\mu, P_\nu] = 0\,$
• $\frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,$
• $\frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,$

onde $P$ é o gerador das translações, $M$ é o gerador das transformações de Lorentz e $\eta$ é a métrica de Minkowski.

O grupo de Poincaré é a simetria completa de qualquer teoria de campo relativa. Como resultado toda partícula elementar participa na representação deste grupo. Geralmente este conceito é especificado como four-momentum de cada partícula (ou seja: sua massa) e seu número quântico intrínseco $J^{PC}$, onde J é o spin, P é a paridade e C é a conjugação de carga. Muitas teorias quânticas de campos violam a paridade e a conjugação de cargas, nestes casos nós descartamos o P e o C, já que o teorema CPT é uma invariante de toda teoria de campo quântica.

Simetria de Poincaré

A Simetria de Poincaré é uma simetria completa da relatividade restrita e inclui:

• translações no tempo e no espaço
• rotações no espaço
• Transformações de Lorentz

As duas últimas simetrias juntas formam o grupo de Lorentz.

Leitura recomendada

• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields. Cambridge: Cambridge University press, 1995. vol. 1. ISBN 978-0-521-55001-7