Grupo de Prüfer

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Em matemática, especificamente na teoria de grupos, para cada número primo p, o p-grupo de Prüfer Z(p), também conhecido como p-grupo quase cíclico ou p-grupo, é o único subgrupo de torção em que todo elemento tem p raízes p-ésimas

  • O p-grupo de Prüfer pode ser representado como um subgrupo do grupo circular U(1), como sendo o conjunto das raízes pn-ésimas da unidade com n variando sobre todos os inteiros não negativos:
\mathbf{Z}(p^\infty)=\{\exp(2\pi i n/p^m) \mid n\in \mathbf{Z}^+,\,m\in \mathbf{Z}^+\}\;
  • Alternativamente, o p-grupo de Prüfer pode ser visto como o p-subgrupo de Sylow de Q/Z consistindo daqueles elementos cuja ordem é uma potência de um primo p:
\mathbf{Z}(p^\infty) = \mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z}
  • Há uma presentação (escrita aditivamente)
\mathbf{Z}(p^\infty) = \langle x_1 , x_2 , ... | p x_1 = 0, p x_2 = x_1 , p x_3 = x_2 , ...\rangle.

Referências