Grupo especial unitário

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Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas n por n unitárias e com determinante um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,\mathbb{C}).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é \{+I, -I\}.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n2-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico \mathbb{Z}_n. O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é \mathbb{Z}_2, enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n2 operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}

Além disto, o operador

\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}

satisfaz

\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n2-1.[1]

Geradores[editar | editar código-fonte]

SU(2)[editar | editar código-fonte]

Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

\sigma_1 =
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}, \quad \sigma_2 =
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},\quad \sigma_3 =
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

SU(3)[editar | editar código-fonte]

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix} \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix} \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

T_a = \frac{\lambda_a}{2} .\,

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

  • \left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,
onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por
f^{123} = 1 \,
f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \,
f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,
  • \operatorname{tr}(T_a) = 0 \,

Referências

  1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.
  • Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons, 1984. ISBN 0-471-88741-2

Ligações externas[editar | editar código-fonte]