Grupo linear especial

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O grupo linear especial, SL (n, F), é o grupo de todas as matrizes de determinante 1.[1] Elas são especiais em que elas se encontram em uma subvariedade - satisfazem uma equação polinomial (como o determinante é um polinômio nas entradas). Matrizes deste tipo formam um grupo como o determinante do produto de duas matrizes é o produto de cada um dos determinantes da matriz.

SL(n, F) é um subgrupo normal de GL(n,F). Se escrever F× para o grupo multiplicativo [2] F (excluindo 0), então o determinante é um homomorfismo de grupos

\det\colon \operatorname{GL}(n, F) \to F^\times.

que é sobrejetivo e seu kernel [3] [4] é o grupo especial linear. Portanto, pelo primeiro teorema de isomorfismo[5] , GL(n,F)/SL(n,F) é isomorfo a F×. De fato, GL (n,F) pode ser escrita como um produto semidireto:

GL(n,F) = SL(n,F) ⋊ F×

Quando F é R ou C, SL (n, F) é um subgrupo de Lie[6] de GL (n, F) de dimensão n2 − 1. O colchete Lie[7] [8] é dado pelo comutador. O grupo especial linear SL(n,R) pode ser caracterizado como o grupo de volume e orientação[9] preservando transformações lineares de Rn[10] .


O grupo SL(n,C)[11] é simplesmente conectado enquanto SL(n,R) não é. SL(n,R) tem o mesmo grupo fundamental como GL+(n, R), isto é, Z para n=2 e Z2 para n>2.

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Referências

  1. Pedro Vaz (2004). Representações induzidas e quantização geométrica das órbitas coadjuntas de SU(2) e SL(2; C) FCT - Universidade do Algarve. Visitado em 30/3/13.
  2. Luan Pereira Bezerra, Otavio Marcal Leandro Gomide, Patricia Marcal e Priscilla Lima Galcino (10 de dezembro de 2012). Grupo Multiplicativo de um Corpo Finito University of Campinas (UNICAMP) Institute of Mathematics, Statistics and Computer Science. Visitado em 31/3/13.
  3. CWoo (29/11/06). kernel of a homomorphism between algebraic systems. Visitado em 30/3/13.
  4. Serge Lang (1987). Linear algebra (Undergraduate Texts in Mathematics) Springer-Verlag Science+Business Media. Visitado em 28/3/13.
  5. Jerry Shurman (1-MAIO-2012). THE THREE GROUP ISOMORPHISM THEOREMS.
  6. Florin Spinu (2008). LIE GROUPS AND LIE ALGEBRAS Johns Hopkins University - Department of Mathematics. Visitado em 4/4/13.
  7. Kolář, I., Michor, P., and Slovák, J. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html  Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
  8. Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1  For generalizations to infinite dimensions.
  9. Todd Rowland. Vector Space Orientation Wolfram MathWorld. Visitado em 13/4/13.
  10. L. Green. Linear Transformations on Rn Lake Tahoe Community College. Visitado em 13/4/13.
  11. Automorphisms of the fine grading of sl(n,C) associated with the generalized Pauli matrices J. Math. Phys. 43, pg. 1083-1094 (Nov./10/ 2003). Visitado em 13/4/13.
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