Grupo ordenado

Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

$\forall a, b, g \in G, (a \le b \implies (a g \le b g \land g a \le g b))\,$

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então $a \le b\,$ implica que $e \le a^{-1} b\,$ e $e \le b a^{-1}\,$. Por outro lado, se $e \le a\,$ e $e \le b\,$, então $a \le ab\,$ e, por transitividade, $e \le ab\,$. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) $G^{+} = \{ x : e \le x\}\,$ é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

• $e \in H\,$
• $a \in H, b \in H \implies ab \in H\,$
• $a \in H, x \in G \implies x^{-1} a x \in H\,$
• $a \in H \land a^{-1} \in H \implies a = e\,$

Então a relação definida por $a \le b \iff a^{-1} b \in H\,$ é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.

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