Grupo ordenado

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Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

 \forall a, b, g \in G, (a \le b \implies (a g \le b g \land g a \le g b))\,

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos[editar | editar código-fonte]

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então a \le b\, implica que e \le a^{-1} b\, e e \le b a^{-1}\,. Por outro lado, se e \le a\, e e \le b\,, então a \le ab\, e, por transitividade, e \le ab\,. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) G^{+} = \{ x : e \le x\}\, é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

  •  e \in H\,
  • a \in H, b \in H \implies ab \in H\,
  • a \in H, x \in G \implies x^{-1} a x \in H\,
  • a \in H \land a^{-1} \in H \implies a = e\,

Então a relação definida por a \le b \iff a^{-1} b \in H\, é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.

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