Grupo quociente

Em matemática, o grupo quociente G/N pode ser entendido, de forma intuitiva, ao se considerar em um grupo G e um seu subconjunto N como se os elementos de N fossem igualados ao elemento neutro.

Mais precisamente, seja N um subconjunto do grupo G. Então o grupo quociente G/N é um grupo de subconjuntos de G, sendo N o elemento neutro deste grupo, satisfazendo:

$x, y \in G, X, Y \in G/N, x \in X, y \in Y \implies xy \in XY\,$

Prova-se que a condição necessária e suficiente para que esta operação seja bem-definida e torne G/N um grupo é que N seja um subgrupo normal de G.

Exemplos

$\Z_4$ pode ser visto como um subgrupo normal de $\Z_{12}$, cujas classes laterais (denotadas com cores distintas) formam um grupo cíclico com 3 elementos.

• O conjunto $n\Z$ dos múltiplos de um número inteiro positivo n é um subgrupo normal de $\Z$ e $\Z/n\Z$ é o grupo cíclico com n elementos.
• Se n divide m, então $\Z_n$ pode ser visto como um subgrupo normal de $\Z_m$ e $\Z_m/\Z_n$ é isomorfo a $\Z_{m/n}$.
• $\Z$ é um subgrupo normal de $\R$ e $\R/\Z$ é isomorfo ao grupo circular $\mathbb{S}^1$.
• Seja $S_n\,$ o grupo das permutações de um conjunto de n elementos, e $A_n\,$ o subgrupo normal das permutações pares. Então $S_n / A_n\,$ é isomorfo a $\Z_2$.