Hessiano

Topicos em Cálculo

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Em matemática, a matriz Hessiana de uma função "f" de n variáveis é a matriz quadrada com "n" colunas e "n" linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes Hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos Newtonianos.

A matriz hessiana foi desenvolvida no século XIX pelo alemão Ludwig Otto Hesse, razão porque mais tarde James Joseph Sylvester lhe deu este nome. O próprio Hesse, ao contrário, usava o termo "determinantes funcionais".

Definição formal em termos matemáticos

Ver artigo principal: função

Ver artigo principal: Matriz (matemática)

Ver artigo principal: derivada parcial

Dada uma função real de n variáveis reais

$f(\mathbf{x})=f({x_1}, {x_2}, {x_3} ..., x_n) \!$, sendo que x (em negrito) indica o vetor de dimensão nX1 das variáveis ${x_1}, {x_2}, {x_3} ..., x_n$.

Lembre-se da notação para as derivadas parciais da função em relação às variáveis:

Em linguagem matemática	Em Português	Exemplo: função com n=2: $f(\mathbf{x})=f \left ( {x_1}, {x_2} \right )=2{x_1}{x_2}^3$
$\frac{\partial f}{\partial {x_1}}$	derivada parcial de primeira ordem da função "f" em relação a uma variável ${x_1}$	$\frac{\partial f}{\partial {x_1}}=\frac{\partial \left( 2{x_1}{x_2}^3 \right )}{\partial {x_1}}=2{x_2}^3$
$\frac {\partial}{\partial {x_1}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_2}} \right)=\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}$	A derivada da derivada (=derivada de segunda ordem): primeiro tomou-se a derivada da função "f" em relação à variável ${x_1}$ e depois derivou-se esta derivada em relação à variável ${x_2}$ .	$\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}$$=\frac{\partial \left ( 2{x_2}^3 \right )}{\partial \partial {x_2}}$$=6{x_2}^2$

Se todas as derivadas parciais de "f" existirem, então a matriz hessiana de f é a matriz quadrada das derivadas de segunda ordem de f:

$H \left [ f({x_1}, {x_2}, {x_3}, ..., x_n) \right] = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}} & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_1}} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_2}} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Uma outra definição equivalente é: dado o vetor gradiente nX1, a matriz hessiana é sua derivada . Por isso, há outras representações para a mesma matriz hessiana H acima:

$H=D \left [\nabla f \left ( \mathbf{x} \right ) \right ] =D^2f_\mathbf{x}=D^2f \left ( \mathbf{x} \right )=\frac{\partial^2 f}{\partial (\mathbf{x})}(\mathbf{x})$

Propriedades da matriz hessiana

• Dimensão:Como uma função com "n" variáveis tem n² derivadas parciais de segunda ordem, a matriz hessiana também terá n² elementos. Por isto, ela sempre será uma matriz quadrada de dimensão nXn.
• Fora da diagonal principal, uma matriz hessiana é composta por derivadas mistas de f.

• Simetria: Se as "segundas derivadas" de f são todas contínuas em uma região dada $\Omega$, consequentemente a hessiana de f é uma matriz simétrica em cada ponto de $\Omega$, dado que, pelo teorema de Young e pelo teorema de Schwartz, nestes casos a ordem de diferenciação não importa (veja, a este respeito, simetria da segunda derivada e Teorema de Schwartz):

$\frac {\partial}{\partial {x_1}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_2}} \right)=$ $\frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}$ $=\frac {\partial}{\partial {x_2}} \left( \frac { \partial f }{ \partial {x_1}} \right)=$ $\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}$

Para variáveis genéricas x_i e x_j, esta igualdade pode ser rescrita como:

$\partial_{x_ix_j} f = \partial_{x_ix_j} f \!$

Pontos Críticos e Discriminante

Se o gradiente da função f é zero em um ponto x que pertence ao domínio da função, então f em x possui um ponto crítico. O determinante do hessiano em x é chamado de discriminante em x. Se este determinante for zero, x será chamado de ponto crítico degenerado de f. Do contrário, o ponto não será degenerado.

Concavidade de funções

A matriz hessiana é útil para identificar a concavidade de funções duas vezes diferenciáveis. Seja $f \left ( x_1, x_2, ..., x_n \right )$ uma função de n variáveis com derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas em um conjunto convexo aberto S.

• A função é côncava (e portanto semicôncava também) se e somente se a matriz hessiana for semidefinida negativa
• Se a matriz hessiana for é definida negativa, então a função é estritamente côncava. Isso não significa, no entanto, que se a função for estritamente côncava, então H(f) é negativa definida para todo x pertencente a S .
• Se a matriz hessiana for é definida positiva, então a função é estritamente convexa
• A função é convexa se a matriz hessiana é semidefinida positiva

Propriedade da função	Propriedade da matriz hessiana
	Semidefinida		Definida
	Positiva	Negativa	Positiva	Negativa
Função côncava (e portanto também quasicôncava)		X
Função convexa	X
Função estritamente côncava				X
Função estritamente convexa			X

Exemplo simples: como encontrar a matriz hessiana

Considere a função $f \left ( x, y \right ) =2x-y+2xy- \left ( x^2 \right )- \left ( y^2 \right )$ definida no conjunto de todos os pares de números. Sua matriz hessiana é:

$H \left [ f(x, y) \right] = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

que é uma matriz negativa semidefinida, portanto f é côncava. note que neste caso o Hessiano não depende de x e y, mas em geral depende .

Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos

Ver artigo principal: Ponto crítico (funções)

Ver artigo principal: Determinante

Dada a função $f(\mathbf{x})=f({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*) \!$, a condição necessária para que um determinado ponto $({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^* \ldots, x_n^*) \!$ seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero . No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

1. Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor n × 1 $\mathbf{x}$.
2. Igualar cada uma das "n" funções do item 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$. Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de $({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*)$. Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de $\mathbf{x^*}=\begin{bmatrix}{x_1}^* \\ {x_2} \\ {x_3}^* \\ \vdots \\ x_n^* \end{bmatrix}$. Reservar este ponto crítico.
3. A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis $({x_1}, {x_2}, \ldots, x_n) \!$.
4. Substitua as variáveis $({x_1}, {x_2},{x_3}, \ldots, x_n)$, presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor $\mathbf{x^*}$. A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável ${x_2}$, por sua vez derivada em relação à variável ${x_1}$, calculada para o vetor $(\mathbf{x^*})$, será representado por $\frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*})$ e significa um número.
5. A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.
   • $\left | H_1 \right \vert=\left | \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) \right \vert$,
   • $\left | H_2 \right \vert=\begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) \\ \end{vmatrix}$
   • $\left | H_3 \right \vert=\begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_3}}(\mathbf{x^*})\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_3}}(\mathbf{x^*}) \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_3}^2}(\mathbf{x^*}) \\ \end{vmatrix}$
   • ...
   • $\left | H_n \right \vert = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}^2}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_1}\,\partial x_n}(\mathbf{x^*}) \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}^2}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial {x_2}\,\partial x_n}(\mathbf{x^*}) \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_1}}(\mathbf{x^*}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial {x_2}}(\mathbf{x^*}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\mathbf{x^*}) \end{vmatrix} = \left | H_n \right \vert$=determinante da matriz hessiana calculada no item 4.
6. Verificar o sinal dos menores principais do item 5 :

   Condição	A matriz H	O ponto crítico $({x_1}^*, {x_2}^*,{x_3}^*, \ldots, x_n^*)$
   $\left | H_1 \right \vert>0,\left | H_2 \right \vert>0,\left | H_3 \right \vert>0, \ldots$	É positiva definida	É ponto de mínimo.
   $\left | H_1 \right \vert<0,\left | H_2 \right \vert>0,\left | H_3 \right \vert<0, \ldots$	É negativa definida	É ponto de máximo.

Ver também

• Matriz jacobiana

Referências

• SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Mátemática para economistas. Porto Alegre: Bookman, 2004. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9.
• INTRILIGATOR, Michael D. Mathematical Optimization and Economic Theory. 1971, Prentice-Hall. Inc. Englewood Cliffs, N.J. printed in the United states of America 13-561753-7. Library of Congress Catalog Card Number: 72-127059. Appendix B, "Matrices".
• CHIANG, Alpha C. Fundamental Methods in Mathematical Economics. 3ª edição. McGraw-Hill, Inc. 1984. ISBN 0-07-010813-7. Seção 11.4, "Objective functions with more than two variables".