Hipótese do continuum

A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:

Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais.

Aqui mais elementos e menos elementos tem um sentido muito preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

Nem verdadeira nem falsa

Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:

• em 1938 , Kurt Gödel demonstrou que a negação da hipótese do continuum não poderia ser provada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel mais escolha, se eles são consistentes.
• em 1963, Paul Cohen demonstrou que a hipótese do continuum também não poderia ser provada a partir dos mesmos axiomas, se eles são consistentes.

Deste modo a hipótese do continuum é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independência leva alguns matemáticos a considerarem que os axiomas de Zermelo-Fraenkel não são os mais suficientes para resolver problemas significativos da teoria de conjuntos e que deveriam ser considerados axiomas adicionais para tornar esta hipótese verdadeira ou falsa. Em particular, Gödel, apesar de ter demonstrado a sua consistência, considerava a possibilidade de que novos axiomas permitissem refutar a Hipótese do Contínuo .

Hipótese do Continuum generalizada

Aleph (א) é uma letra usada para representar cardinais infinitos. A cardinalidade dos conjunto dos números inteiros é $\aleph_0$, o cardinal seguinte é $\aleph_1$, etc. Usando os números cardinais א, a hipótese do Continuum pode ser escrita como:

$\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$

A generalização desta hipótese (que não pode ser provada a partir dela) é que para qualquer ordinal $\alpha$:

$\aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}$

Um cuidado deve ser observado na fórmula acima: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal enquanto que o tratamento de $2^{\aleph_\alpha}\,$ usa aritmética cardinal; todo número cardinal é, por definição, um número ordinal, mas a recíproca não é verdadeira.

Cardinalidade do contínuo

Ver artigo principal: Cardinalidade do contínuo

Em ZFC, a teoria dos conjuntos com os axiomas de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, a cardinalidade do contínuo está muito indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demonstrado por König, sobre os valores que o contínuo não pode tomar, pois o denominado teorema de König mostra:

$\mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega}\,$

O mesmo acontece para outros cardinais de cofinalidade $\omega^{\,}$:

$\mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega + \omega}\,$

$\mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega_{\omega}}\,$

Seja $\mbox{Con} \left( T \right)$ o enunciado "$T^{\,}$ é consistente". Como enunciado acima, Gödel demonstrou:

$\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_1\right)$

Usando forçamento (forcing) os seguintes resultados podem ser demonstrados:

$\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_n\right)$

para qualquer $n \ge 2$. De maneira mais geral, o contínuo pode ser qualquer cardinal regular não enumerável. Por exemplo:

$\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega + 42} \right)$

$\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega_1} \right)$

Se denominarmos WI o enunciado "existe um cardinal fracamente inacessível", então vale :

$\mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC + WI} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + \mbox{``}2^{\aleph_0} \;\;\mbox{é fracamente inacessível''} \right)$

Bibliografia

• KUNEN, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9