Hiperplano

Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em χ (por exemplo, $\chi= \mathbb{R}^N$) um conjunto de elementos tais que

$H= \left [ x \in \chi : p^T \cdot x = b \right ]$

, sendo que p é o vetor normal de H, é não-nulo e também percence a χ, e b pertence ao conjunto dos números reais.

Um hiperplano é um espaço vetorial se b = 0

Hiperplano nos números reais

Um hiperplano em R¹ é calculado tendo as coordenadas do ponto, em R² tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo x) ou tanto como vetorial. Em R³ é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de x, y e z, respectivamente.

Exemplo

R¹

P = (xo,yo,zo)
P = (1,0,3)

R²

r: x = xo + at                        vetor diretor (a,b,c)
   y = yo + bt                        ponto arbitrário (xo,yo,zo)
   z = zo + ct

r: x = 2 + 3t
   y = 3 + 4t
   z = 2t

O ponto escolhido foi no exemplo foi P = (2,3,0) e a vetor foi v = (3,4,2)

R³ ax + by + cz + d = 0 vetornormal = (a,b,c) 2x + 3y − z = 15 Vetor normal ao plano v = (2,3, − 1).

Propriedades

• Um hiperplano em um espaço de n dimensões é um conjunto plano com dimensão "n-1".
• Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins
• Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:

$a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n = b \,\!$