Homotopia

Uma homotopia entre dois caminhos.

Em topologia, homotopia significa deformação de uma aplicação entre espaços topológicos.

Definição

Duas aplicações contínuas $f,g:X\rightarrow Y$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$, chamada homotopia, tal que $F_0=f\,$ e $F_1=g\,$, onde $F_t=F_{|X\times\{t\}}$.

Grupos de homotopia

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico $X\,$, com ponto base $x_0\,$, que se representa por $\pi_n(X,x_0)\,$, é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas $\alpha:[0,1]^n\rightarrow X$ tais que $\alpha(\partial [0,1]^n)=\{x_0\}$, munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Equivalência homotópica

Dois espaços topológicos $X\,$ e $Y\,$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow X$ tais $f\circ g$ e $g\circ f$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de $Y\,$ e $X\,$. Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.

Outras noções de igualdade topológica

• Homeomorfismo
• Difeomorfismo