Hotel de Hilbert

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O paradoxo do Hotel de Hilbert é um fato matemático sobre conjuntos infinitos apresentado pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943).[1] É chamado de paradoxo pois o resultado é contra-intuitivo.

O paradoxo do Hotel de Hilbert[editar | editar código-fonte]

Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contêm um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. [1] Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, movendo o hóspede do quarto N para o quarto N+1, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.[1]

O único problema em tal paradoxo é que para transferir o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o quarto 2 deve estar livre, porém para o mesmo estar livre o quarto 3 deve estar livre também para transferir o hóspede do quarto 2 para o 3, e assim sucessivamente. Por isso o tempo de espera para liberar o quarto 1 seria infinito, já que para isso acontecer o enésimo quarto deve estar livre para a liberação do quarto n-1.[2]

Infinitos ônibus[editar | editar código-fonte]

É também possível hospedar nesse hotel um número infinito (contável) de ônibus, cada um contendo um número infinito (contável) de passageiros. A possibilidade de fazer isso depende se os assentos do ônibus já estão numerados (alternativamente, o dono do hotel deve ter o axioma da escolha à sua disposição). Primeiro esvazie os quartos ímpares como acima, então coloque os passageiros do primeiro ônibus nos quartos 3n para n = 1, 2, 3, ..., os passageiros do segundo ônibus serão colocados nos quartos 5n para n = 1, 2, ... e assim por diante; para o ônibus de número i usamos os quartos de número pn onde p é o (i+1)-ésimo número primo.

Isso dá um resultado importante e não intuitivo; a situação "todo quarto está ocupado" e "nenhum novo hóspede pode ser acomodado" não são equivalentes quando existe um número infinito de quartos.

Alguns acham este fato bastante contra-intuitivo. As propriedade de "coleções de coisas" infinitas são bastante diferentes daquelas das "coleções de coisas" finitas. Em um hotel comum (com um número finito de quartos), o número de quartos com numeração ímpar é claramente menor que o número total de quartos (desde que haja mais de um quarto). Entretanto, no Hotel de Hilbert, a quantidade de quartos com numeração ímpar é igual ao número total de quartos. Em termos matemáticos, a cardinalidade do subconjunto contendo apenas os quartos com numeração ímpar é a mesma do conjunto contendo todos os quartos. De fato, conjuntos infinitos podem ser caracterizados como sendo aqueles que possuem um subconjunto próprio da mesma cardinalidade. Para infinitos contáveis, esta cardinalidade é denominada \aleph_0 (Aleph zero).

Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito contável, existe uma objeção que mapeia o conjunto infinito no conjunto dos números naturais, mesmo se o conjunto infinito contém (e é distinto) do conjunto dos números naturais.

Fato[editar | editar código-fonte]

Para os conjuntos infinitos, o Princípio da Casa dos Pombos é falso e isso é provado utilizando o Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert.[3]

Referências

  1. a b c Uff. O hotel de Hilbert. Visitado em 16/10/2013.
  2. Weisstein, Eric W. "Hilbert Hotel." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HilbertHotel.html
  3. Álgebra - V.V. Vavlov

Ligações externas[editar | editar código-fonte]