IEEE 754

O padrão IEEE 754 (definido pelo Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos) foi adotado em 1985 e desde então passou por algumas modificações, e define algumas regras de normalização a serem seguidas nas operações e representações de números binários com ponto flutuante. Antes disso, cada fabricante de computadores e outros dispositivos, possuía um formato de representação diferente.

Normalização

Para que o número esteja de acordo com as normas, deve obedecer a seguinte configuração:

S M * 2E

onde S é o sinal, M é a mantissa ou parte fracionaria, 2 é a base (binário) e E é o expoente. Deve ter a mesma forma utilizada em notação científica.

Na representação em bits, usa-se a seguinte configuração:

Sinal	Expoente	Mantissa

Exemplo:

+ 9,5 decimal => + 1,0011 * 2³

0	10000010	00110000000000000000000

(Um exemplo mais detalhado da transformação encontra-se logo abaixo)

Sinal

Independente do sistema de precisão utilizado, o sinal sempre é representado por apenas um bit, podendo ser negativo (1) ou positivo (0).

Arredondamento

Embora o arredondamento possa alterar ligeiramente o resultado, muitas vezes se faz necessário. Quando isso ocorre, as regras são semelhantes às utilizadas no arredondamento de números decimais. Temos:

Arredondamento em direção ao zero (round toward 0): despreza-se os bits “excedentes”;

Arredondamento em direção ao infinito positivo (round toward +∞): arredonda para cima;

Arredondamento em direção ao infinito negativo (round toward -∞): arredonda para baixo;

Arredondamento para o mais próximo (round to the nearest): quando está entre dois números, aproxima-se para o mais próximo, devendo terminar em zero.

Exemplo:
Número inicial: 1,0011101 (está entre 1,0011 e 1,0100)

Tipo de Arredondamento	Final
Para zero	1,0011
Para +∞	1,0100
Para -∞	1,0011
Aproximação	1,0100

Parte Inteira

Deve haver apenas um número antes da vírgula, ou seja, o 1. Porém, somente a parte fracionária do número é representada, pois a parte inteira, que sempre será 1, fica implícita. Assim, o bit que deixou de ser ocupado, poderá ser utilizado pelo expoente, proporcionando uma maior precisão.

Expoente

O expoente deve ser ajustado de acordo com as normas, sendo somado ao número padronizado -Bias- 127 (simples) ou 1023 (dupla).

Precisão

Distribuição dos bits. Precisão simples

Distribuição dos bits. Precisão dupla

Quanto à precisão da representação numérica, as principais são:

Simples

• 32 bits ou precisão simples (float), equivalente a até 7 dígitos decimais.
• 1 bit para o sinal.
• 8 bits para o expoente.
• 23 bits para a representação da mantissa.

Dupla

• 64 bits ou precisão dupla (double), equivalente a até 15 dígitos decimais.
• 1 bit destinado para o sinal;
• 11 bits destinados para o expoente;
• 52 bits destinados para a mantissa.

Valores Especiais

Valor	Sinal	Expoente	Mantissa
Zero	0	0s	0s
+ Infinito	0	1s	1s
- Infinito	1	1s	1s
NaN	0	1s	Diferente de 0s

No padrão IEEE 754, os NaN (Not a Number), possuem sinal 0, expoente 1 e mantissa com qualquer valor - exceto tudo 0s, pois isso caracteriza infinito- e representam exceções como divisão por zero, raiz de negativos etc.

Convertendo número decimal para binário

Tomando por base o primeiro exemplo, -9.5, vamos representá-lo como ponto flutuante com precisão 32 bits. Exemplo:

Sinal negativo →  1
9,5 para binário → 1001,1
deslocamos a vírgula → 1,0011 * 2³
agora que temos o expoente 3, devemos normalizá-lo → 3+127 = 130
em binário temos 3 = 11 e 127 = 1111111, somando os dois temos → 10000010

Resultado:

1 10000010 00110000000000000000000

Os espaços restantes são preenchidos com zeros.

Convertendo número binário para decimal

Para converter binários de ponto flutuante para decimal, devemos fazer o inverso do que fizemos acima.

Primeiramente, devemos identificar os componentes e decompô-los em sinal, expoente (8 ou 11 bits) e o restante será a mantissa.

Não devemos esquecer de recompor a parte inteira, ou seja o 1.

Exemplo

1	10000010	00110000000000000000000
sinal	expoente	fração

expoente → 130-127 = 3
reconstituindo a parte inteira e adicionando-a a mantissa → 10011
adicionando a vírgula → 1,0011
deslocando-a de acordo com o expoente → 1001,1
convertendo para decimal → 9,5
adicionando o sinal → - 9,5

Aritmética com ponto flutuante

Quando são feitas adição ou subtração, os números devem ter os mesmos expoentes – movendo a vírgula. Após isso, os cálculos são efetuados normalmente.

Em divisões e multiplicações, não é necessário igualar os expoentes. Procede-se da seguinte forma:

multiplica-se as mantissas e soma-se os expoentes ou divide-se as mantissas e subtrai-se os expoentes, dependendo da operação em questão.

Independente da operação, o resultado deve ser normalizado, se necessário.

Bibliografia

• VAHID, Frank. Sistemas Digitais: projetos, otimização e HDLs. São Paulo: Artmed, 2008.

Ver também

• Ponto flutuante
• Binário
• IEEE