Ideal (teoria da ordem)

Na área matemática da teoria da ordem, um ideal num conjunto parcialmente ordenado ⟨A,≤⟩ é um subconjunto I de A com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de ideal em teoria dos anéis e tem considerável importância na teoria da ordem e na de reticulados, incluindo as Álgebras de Boole.

Definições

Dado um conjunto parcialmente ordenado $\left \langle A, \le \right \rangle$, um ideal é um subconjunto não vazio $I^{\,}$ com as seguintes propriedades:

$\mathbf{1.} \mbox{ Se } x \in I \mbox{ e } y \le x \mbox{, então } y \in I$

$\mathbf{2.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } \exists z \in I \mbox{ tal que } x \le z \mbox{ e } y \le z$

A propriedade 2 especifica que $I$ é um conjunto direcionado. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

$\mathbf{2^{*}.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } x \vee y \in I$

pois 2 e 2* são equivalentes em reticulados.

Um ideal $I^{\,}$ num conjunto ordenado $\left \langle A, \le \right \rangle$ é denominado principal se existe um $i \in I^{\,}$ tal que

$I = \{ x \in A \! : i \le x \}$

Nesse caso, diz-se que $I^{\,}$ é gerado por $i^{\,}$.

Um ideal $I^{\,}$ é denominado primo, se toda vez que $x \wedge y \in I$ temos $x \in I$ ou $y \in I$.

Veja também

• Filtro (teoria dos conjuntos)
• Ideal (teoria dos anéis)
• Ideal (teoria dos conjuntos)

Bibliografia

• Birkhoff, Garret. Lattice Theory. New York: American Mathematical Society, 1948.

• Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders. A survey of modern algebra. New York: MacMillan, 1965.

• Burris, S.; Sankappanavar, H.P. A course in universal algebra. New York: Springer, 1981.

• Lawson, M.V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. [S.l.]: World Scientific, 1998. ISBN 9789810233167

• Sikorski, Roman. Boolean Algebras. Heildelberg: Springer Verlag, 1969.

• Stanley, R.P. Enumerative combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 9780521663519