Ideal (teoria da ordem)

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Na área matemática da teoria da ordem, um ideal num conjunto parcialmente ordenadoA,≤⟩ é um subconjunto I de A com propriedades específicas. Esse conceito é uma generalização do de ideal em teoria dos anéis e tem considerável importância na teoria da ordem e na de reticulados, incluindo as Álgebras de Boole.

Definições[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto parcialmente ordenado  \left \langle A, \le \right \rangle , um ideal é um subconjunto não vazio I^{\,} com as seguintes propriedades:

 \mathbf{1.} \mbox{ Se } x \in I \mbox{ e } y \le x \mbox{, então } y \in I
 \mathbf{2.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } \exists z \in I \mbox{ tal que } x \le z \mbox{ e }  y \le z

A propriedade 2 especifica que I é um conjunto direcionado. Na definição original em reticulados, essa propriedade é substituída por:

 \mathbf{2^{*}.} \mbox{ Se } x, y \in I \mbox{, então } x \vee y \in I

pois 2 e 2* são equivalentes em reticulados.

Um ideal I^{\,} num conjunto ordenado  \left \langle A, \le \right \rangle é denominado principal se existe um  i \in I^{\,} tal que

 I = \{ x \in A \! : i \le x \}

Nesse caso, diz-se que I^{\,} é gerado por i^{\,}.

Um ideal I^{\,} é denominado primo, se toda vez que  x \wedge y \in I temos  x \in I ou  y \in I .

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Birkhoff, Garret. Lattice Theory. New York: American Mathematical Society, 1948.
  • Birkhoff, Garrett; MacLane, Saunders. A survey of modern algebra. New York: MacMillan, 1965.
  • Burris, S.; Sankappanavar, H.P. A course in universal algebra. New York: Springer, 1981.
  • Lawson, M.V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. [S.l.]: World Scientific, 1998. ISBN 9789810233167.
  • Sikorski, Roman. Boolean Algebras. Heildelberg: Springer Verlag, 1969.
  • Stanley, R.P. Enumerative combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 9780521663519.