Ideal principal

Na teoria dos anéis, um ramo da álgebra abstrata, um ideal principal é um ideal que é gerado por um elemento.

No caso mais geral de um anel não-comutativo R, temos:

• um ideal principal à esquerda é um ideal $R a = { r a | r \in R } \,$
• um ideal principal à direita é um ideal $a R = { a r | r \in R } \,$
• um ideal principal bilateral é um ideal $I = { e_1 a d_1 + e_2 a d_2 + \ldots + e_n a d_n | e_1, d_1, e_2, d_2, \ldots, e_n, d_n \in R } \,$

No caso comutativo, um ideal principal é um conjunto da forma $a R = { a r | r \in R }\,$

Em $\mathbb{Z}\,$, é fácil mostrar que todo ideal é um ideal principal, porém esta propriedade não é válida em geral. Um contra-exemplo simples é o ideal gerado por {2, x} no domínio de integridade $\mathbb{Z}[x]\,$, dos polinômios de coeficientes inteiros.