Identidade trigonométrica fundamental

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A identidade trigonométrica fundamental é uma identidade trigonométrica que expressa o teorema de Pitágoras em termos de funções trigonométricas. Junto com a fórmula da soma dos ângulos é a relação básica entre as funções seno e cosseno a partir das quais todas as outras podem ser derivadas.

Enunciado da identidade[editar | editar código-fonte]

Matematicamente, a identidade trigonométrica fundamental diz:

\sen^2 x + \cos^2 x = 1.\qquad\qquad (1) \!

(Note que sen2 x significa (sen x)2.)

As identidades

1 + \tan^2 x = \sec^2 x\,

e

1 + \cot^2 x = \csc^2 x\,

são os seus principais corolários e são facilmente obtidos usando álgebra elementar, a saber, dividindo-se ambos os membros da identidade trigonométrica fundamental por cos2 x e por sen2 x, respectivamente. Assim como (1), também possuem interpretações geométricas simples do teorema de Pitágoras.

Provas e sua relação com o Teorema de Pitágoras[editar | editar código-fonte]

Usando triângulos-retângulos[editar | editar código-fonte]

Usando a "definição" elementar das funções trigonométricas em termos dos lados de um triângulo retângulo,

\cos x = \frac{\mathrm{adjacente}}{\mathrm{hipotenusa}}
\sen x = \frac{\mathrm{oposto}}{\mathrm{hipotenusa}}

o teorema segue elevando-se ambos membros das identidades ao quadrado e depois somando-as; o membro esquerdo então fica

\frac{\mathrm{oposto}^2 + \mathrm{adjacente}^2}{\mathrm{hipotenusa}^2}

que pelo teorema de Pitágoras é igual a 1. Note, no entanto, que esta definição é apenas válida para ângulos entre 0 e ½π radianos (exclusive) e portanto esse argumento não prova e identidade para um ângulo qualquer. Os valores de 0 e ½π são provados trivialmente através do cálculo de seno e cosseno nesses ângulos.

Para completar a prova, as identidades encontradas em periodicidade, simetria e translações trigonométricas devem ser empregadas. Pelas identidades de periodicidade podemos dizer que se a fórmula é verdadeira para -π < x ≤ π então é verdadeira para todo x real. A seguir provamos o intervalo ½π < x ≤ π e para fazer isso tomamos t = x - ½π, que estará no intervalo 0 < x ≤ ½π. Podemos então fazer uso de versões elevadas ao quadrado de algumas identidades básicas de transformação (elevar ao quadrado convenientemente elimina os sinais de menos).

\sen^2x+\cos^2x \equiv \sen^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) - \cos^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) \equiv \cos^2t+\sen^2t \equiv 1.

Tudo o que falta é provar a identidade para −π < x < 0; isso pode ser feito elevando-se as identidades de simetria para obter

\sen^2x\equiv\sen^2(-x)\mbox{ e }\cos^2x\equiv\cos^2(-x)\,.

Usando o círculo unitário[editar | editar código-fonte]

Se as funções trigonométricas são definidas em termos do círculo unitário, a prova é imediata: dado um ângulo θ, há um único ponto P no círculo unitário centrado na origem no plano euclidiano em um ângulo θ do eixo-x, e cos θ, sen θ são respectivamente as coordenadas x e y do ponto P. Pela definição do círculo unitário, a soma dos quadrados dessas coordenadas é igual a 1, daí a identidade.

A relação com o teorema de Pitágoras é deve-se ao fato do círculo unitário ser definido pela equação

x^2 + y^2 = 1\,.

Uma vez que os eixos x e y são perpendiculares entre si, esse fato é ainda equivalente ao teorema de Pitágoras para triângulos de hipotenusa 1.

Usando séries de potências[editar | editar código-fonte]

As funções trigonométricas também podem ser definidas usando séries de potências, para x em radianos:

\sin x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1}
\cos x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

Usando a lei formal de multiplicação para séries de potências modificada aqui para servir à forma das séries aqui, obtemos

\sin^2 x\, = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} \frac{(-1)^j}{(2j + 1)!} x^{(2i + 1) + (2j + 1)}
= \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2i + 1)!(2(n - i - 1) + 1)!}\right) x^{2n}
= \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n}
\cos^2 x\, = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{(2i) + (2j)}
= \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{i = 0}^n \frac{(-1)^n}{(2i)!(2(n - i))!}\right) x^{2n}
= \sum_{n = 0}^\infty \left( \sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} \right) \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

Note que na expressão para \sin^2, n deve ser pelo menos 1, enquanto que na expressão para \cos^2, o termo constante é igual a 1. Os termos remanescentes da soma são (com fatores comuns removidos)

\sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1}

= \sum_{j = 0}^{2n} (-1)^j {2n \choose j}

= (1 - 1)^{2n}

= 0

pelo teorema binomial. O teorema de Pitágoras não está proximamente relacionado à identidade trigonomátrica fundamental quando as funções trigonométricas são definidas desta forma; ao invés disso, em combinação com o teorema, a identidade agora mostra que essa série de potências parametriza o círculo unitário, que usamos na seção anterior. Note que esta definição na verdade constrói as funções seno e cosseno de uma forma bastante rigorosa e prova que elas são diferenciáveis, de forma que ela inclui as duas anteriores.

Usando a equação diferencial[editar | editar código-fonte]

É possível definir as funções seno e cosseno com duas soluções únicas para a equação diferencial

y'' + y = 0

satisfazendo respectivamente y(0) = 0, y'(0) = 1 e y(0) = 1, y'(0) = 0. Segue da teoria das equações diferenciais ordinárias que a primeira solução mostrada, o seno, tem a última, cos, como sua derivada, e disso segue que a derivada de cos é −sin. Para provar a identidade trigonométrica fundamental é suficiente mostrar que a função

z = \sin^2 x + \cos^2 x

é constante e igual a 1. No entanto, ao diferenciá-la e ao aplicar os dois fatos que acabamos de mencionar vemos que z' = 0 então z é constante e z(0) = 1.

Essa forma da identidade também não tem conexão direta com o teorema de Pitágoras.

Ver também[editar | editar código-fonte]