Identidades de Green

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado

Seja $U\,$ um conjunto aberto limitado de $\mathbb{R}^n$ com fronteira $\partial U\in C^1\,$. Se $u,v\,\in C^2(\overline{U})\,$, então:

1. $\int_U\Delta u dx=\int_{\partial U}\frac{\partial u }{\partial \nu}dS\,$
2. $\int_U Du\cdot Dv dx= -\int_Uu\Delta vdx + \int_{\partial U}\frac{\partial v }{\partial \nu}udS\,$
3. $\int_U (u\Delta v-v\Delta u) dx= \int_{\partial U}(\frac{\partial v }{\partial \nu}u-\frac{\partial u }{\partial \nu}v)dS\,$

onde $\nu\,$ é o vetor unitário exterior normal.