Independência algébrica

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Em álgebra abstrata, um subconjunto S de um corpo L é algebricamente independente sobre um subcorpo K se os elementos de S não satisfazem nenhuma equação polinômica não-trivial com coeficientes em K. Isto significa que para toda série finita α1, ..., αn de elementos de S, não sendo dois idênticas, e todo polinômio distinto de zero P(x1, ..., xn) com coeficientes em K, temos

P1,...,αn) ≠ 0.

Em particular, um conjunto de um elemento {α} é algebricamente independente sobre K se e somente se α é transcendente sobre K.

Em geral, todos os elementos de um conjunto algebricamente independente sobre K são necessariamente transcendentes sobre K, mas isso está longe de ser uma condição suficiente.

Por exemplo, o subconjunto {√π, 2π+1} dos reais R não é algebricamente independente sobre os racionais Q, dado que o polinômio distinto de zero

P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1

resulta zero quando √π é substituido por x1 e 2π+1 é substituido por x2.

O teorema de Lindemann-Weierstrass pode frequentemente ser usado para provar que alguns conjuntos são algebricamente independentes sobre \mathbb{Q}. Afirma que quando α1,...,αn são números algébricos que sejam linearmente independentes sobre Q, então eα1,...,eαn são algebricamente independentes sobre Q.

Não se conhece se o conjunto {π, e} é algebricamente independente sobre Q.[1] Nesterenko provou em 1996 que {π, eπ, Γ(1/4)} é algebricamente independente sobre Q.[2]

Dada uma Extensão de corpo L/K, podemos usar o lema de Zorn para mostrar que sempre existe um máximo subconjunto algebricamente independente de L sobre K. Mais ainda, todos os máximos subconjuntos algebricamente independentes tem a mesma cardinalidade, conhecida como grau de transcendência da extensão.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Patrick Morandi (1996). Field and Galois Theory. Springer. pp. 174.
  2. Nesterenko, Yuri V (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Chen, Johnny, "Algebraically Independent" em MathWorld. (em inglês)