Inequação do 2º grau

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Uma Inequação do 2º Grau é uma inequação que pode ser reduzida à forma:

ax^2+bx+c\star0.

Note que comparar um dos termos a zero é essencial para a resolução de qualquer inequação mais complexa do que a inequação do 1º grau.

Inicialmente, acham-se os zeros da inequação, resolvendo-a como uma equação quadrática. Note que, achando 2 raízes reais, sabe-se que \Delta > 0, achando-se 1 raiz real, sabe-se que \Delta = 0 e não se achando raiz real, sabe-se que \Delta < 0. Após isso, observa-se o sinal do coeficiente a. Pelo estudo dos sinais da função quadrática, temos que:

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x
Exemplo de uma função negativa para x \ne r_1 = r_2 e nula para x = r_1 = r_2
Exemplo de uma função positiva para x < r_1 ou x > r_2; nula para x = r_1 = r_2 e negativa para r_1 < x < r_2.
  • \Delta < 0
    • a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}
    • a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}
  • \Delta = 0
    • a > 0
      • f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2
      • f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2
    • a < 0
      • f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2
      • f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2
  • \Delta > 0
    • a > 0
      • f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2
      • f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2
      • f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2
    • a < 0
      • f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2
      • f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2
      • f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

Então, separe-se os valores adequados e obtém-se o conjunto-solução.

Praticamente, pode-se esboçar o gráfico da função

y = ax^2 + bx + c,

observando os sinais do coeficiente a e do \Delta, e selecionando as raízes que cumprem a função. Basta observar para que valores a curva está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da abcissa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • x^2 + 6 \ge 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x +6 \ge 0. Se x^2 - 5x +6 = 0, então r_1 = 2 e r_2 = 3. Logo, \Delta >0 (uma vez que se obteve 2 raízes). Como a = 1 > 0, então, os valores que fazem f(x) > 0 ou f(x) = 0 são x \le 2 ou x \ge 3
  • x^2 - 2x + 1 \le 0. Se x^2 - 2x + 1 = 0, então r_1 = r_2 = 1. Logo, \Delta = 0 (uma vez que se obteve 1 raiz). Como a = 1 > 0, então, os valores que fazem f(x) < 0 ou f(x) = 0 são apenas x = 1.
  • - x^2 - x -1 > 0. Se - x^2 - x - 1 = 0, então a equação não possui raízes reais. Logo, \Delta < 0. Como a = - 1 < 0, então não há valores que fazem f(x) > 0.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • MURAKAMI, Gelson Iezzi Carlos. "Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 1". 8ª Edição. São Paulo: Atual, 2004. ISBN 85-357-0455-8

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.