Infinitesimal

Em cálculo, um infinitesimal é uma expressão que tem sido usada para denotar objetos que são tão pequenos que não há maneiras de vê-lo ou medi-lo, porém é maior do que zero. Um número x ≠ 0 é um infinitesimal se toda soma |x| + ... + |x| com uma quantidade finita de termos é menor que 1, independentemente da quantidade de termos.

Um infinitesimal é apenas uma quantidade notacional - não há nenhum número real que seja um infinitesimal. Isto pode ser demonstrado recorrendo ao axioma do menor majorante no contexto dos números reais: considerar se o menor majorante c do conjunto de todos os infinitesimais é ou não um infinitesimal. Se for, então 2c também é, contradizendo assim o facto de que c é um majorante do referido conjunto. Se não for, então c/2 também não é, contradizendo o facto de que c é o menor dos majorantes.

O primeiro matemático a usar infinitesimais foi Arquimedes.

Quando Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo, eles fizeram uso de infinitesimais. Eis um argumento típico:

Achando a derivada f '(x) da função f(x) = x², seja dx um infinitesimal. Logo,

$f'(x)\,$	$=\frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx}\,$
	$=\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx + (\mathrm dx)^2 -x^2}{\mathrm dx}\,$
	$=2x + \mathrm dx\,$
	$=2x\,$

pois dx é infinitamente pequeno.

Este argumento, embora seja intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, não é matematicamente rigoroso. O uso de infinitesimais foi atacado, como incorrecto, por Bishop Berkeley na sua obra The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. O problema fundamental reside no facto de que dx é, primeiro, tratado como não-zero (pois é utilizado como divisor), mas é mais tarde descartado como se fosse zero.

Só na segunda metade do século XIX é que o cálculo infinitesimal obteve uma fundação matemática formal, graças a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noção de limite, que eliminou a necessidade do uso de infinitesimais.

O uso de infinitesimais continua a ser conveniente para simplificar notações e cálculos.

Infinitesimais são quantidades legítimas na Análise não-padrão de Abraham Robinson. Nesta teoria, o cálculo supramencionado da derivada f(x) = x² pode ser justificado com uma pequena modificação: nós temos de falar sobre a parte padrão do quociente da diferença, e a parte padrão de x +dx é x.

De forma alternativa, podemos ter a geometria diferencial sintética.

Veja também:

• Número hiper-real
• Número surreal