Integral Gaussiana

O gráfico de ƒ(x) = e^−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale $\scriptstyle\sqrt{\pi}$.

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e^−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para $\scriptstyle\int e^{-x^2}\,dx$, mas a integral definida $\scriptstyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx$ pode ser calculada.

Generalizações

A integral de uma função gaussiana

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x+b)^2/c^2}\,dx= c \sqrt{\pi}.$

ou de forma equivalente

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{- x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\pi}\,e^{b^2/4+c},$

Demonstração

Em coordenadas polares

Uma forma simples se calcular, cuja idéia remonta a Siméon-Denis Poisson é considerar a função e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 no plano R², e calcular a mesma integral de duas formas:

• por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve como um quadrado de integrais :

$\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;$

• por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale $\pi$.

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por $I$, como se segue:

$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx .$

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy .$

Observemos que essa multiplicação nos dá $I^2$, pois os valores das duas integrais em $y$ e em $x$ são exatamente os mesmos.

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-y^2}\,dx\,dy$

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy$.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que $-x^2-y^2 = -(x^2 + y^2) = -r^2$. É coerente notar que a região de integração é todo o plano $xy$ , portanto $r$ deve percorrer de 0 até ${\infty}$ e o ângulo ${\theta}$ de 0 à 2${\pi}$ . Assim a integral

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta}$

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator $r$ que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2$r$. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em $r$ e depois integrando o resultado em ${\theta}$ da seguinte forma :

$u = -r^2$

$du = -2r dr$

$-{\frac{du}{2r}} = dr$

$\int_0^{\infty}e^{-r^2}r\,dr\ = - \int_0^{\infty}e^{u}r\,{\frac{du}{2r}}\ = - {\frac{1}{2}} \int_0^{\infty}e^{u}\,du\ = - {\frac{1}{2}} e^{-r^2}|_0^{\infty} = - {\frac{1}{2}} (0 - 1) = {\frac{1}{2}} .$

Teremos então:

$\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta} = \int_0^{2\pi} {\frac{1}{2}} \,d{\theta} = {\frac{1}{2}} ({2\pi} - 0) = {\pi} .$

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta} = {\pi}$

$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} .$

Ver também

• Distribuição normal

Referências

• Eric W. Weisstein, Gaussian Integral em MathWorld.