Integral Gaussiana

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O gráfico de ƒ(x) = ex2 e a área entre a função e o eixo x, que vale  \scriptstyle\sqrt{\pi} .

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana ex2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para \scriptstyle\int e^{-x^2}\,dx, mas a integral definida \scriptstyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx pode ser calculada.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A integral de uma função gaussiana[editar | editar código-fonte]

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x+b)^2/c^2}\,dx= c \sqrt{\pi}.

ou de forma equivalente

\int_{-\infty}^{\infty}e^{- x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\pi}\,e^{b^2/4+c},

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Em coordenadas polares[editar | editar código-fonte]

Uma forma simples se calcular, cuja idéia remonta a Siméon-Denis Poisson1 é considerar a função e−(x2 + y2) = er2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas formas:

\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução[editar | editar código-fonte]

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por  I , como se segue:

 I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx .

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy .

Observemos que essa multiplicação nos dá  I^2 , pois os valores das duas integrais em  y e em  x são exatamente os mesmos.

 I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-y^2}\,dx\,dy
 I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que  -x^2-y^2 = -(x^2 + y^2) = -r^2 . É coerente notar que a região de integração é todo o plano  xy , portanto  r deve percorrer de 0 até  {\infty} e o ângulo  {\theta} de 0 à 2{\pi} . Assim a integral

 I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta}

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator  r que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2r. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em  r e depois integrando o resultado em  {\theta} da seguinte forma :

 u = -r^2
 du = -2r dr
 -{\frac{du}{2r}} = dr
 \int_0^{\infty}e^{-r^2}r\,dr\ = - \int_0^{\infty}e^{u}r\,{\frac{du}{2r}}\ = - {\frac{1}{2}} \int_0^{\infty}e^{u}\,du\ = - {\frac{1}{2}} e^{-r^2}|_0^{\infty} = - {\frac{1}{2}} (0 - 1) = {\frac{1}{2}} .

Teremos então:

 \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta} = \int_0^{2\pi} {\frac{1}{2}} \,d{\theta} = {\frac{1}{2}} ({2\pi} - 0) = {\pi} .

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

 I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d{\theta} = {\pi}
 I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} .

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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