Integral de Darboux

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Em análise real, um campo da matemática, a integral de Darboux ou soma de Darboux é uma definição possível da integral de uma função. Integrais de Darboux são equivalentes a integrais de Riemann, significando que uma função é integrável por integral de Darboux se e somente se é integrável pela integral de Riemann, e os valores das duas integrais, se existem, são iguais. Integrais de Darboux tem a vantagem de ser mais simples de definir que as integrais de Riemann. Integrais de Darboux são nomeadas em virtude de seu descobridor, Gaston Darboux.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita de valores xi tais que

a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b . \,\!

Cada intervalo [xi−1,xi] é chamado um subintervalo da partição. Sendo ƒ:[a,b]→R uma função limitada, e fazendo P ser uma partição de [a,b]:

P = (x_0, \ldots, x_n) \,\!

Tem-se

\begin{align}
 M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x) , \\
 m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_{i}]} f(x) .
\end{align}
Somas de Darboux inferior (verde) e superior (verde mais lavanda) para quatro subintervalos.

A soma superior de Darboux de ƒ em relação a P é

U_{f, P} = \sum_{i=1}^n (x_{i}-x_{i-1}) M_i . \,\!

A soma inferior de Darboux de ƒ em relação a P é

L_{f, P} = \sum_{i=1}^n (x_{i}-x_{i-1}) m_i . \,\!

A integral superior de Darboux de ƒ é

U_f = \inf\{U_{f,P} \colon P \text{ uma particao de } [a,b]\} . \,\!

A integral inferior de Darboux de ƒ é

L_f = \sup\{L_{f,P} \colon P \text{ uma particao de } [a,b]\} . \,\!

Se Uƒ = Lƒ, então diz-se que ƒ é integrável por integral de Darboux e faz-se

\int_a^b {f(t)\,dt} = U_f = L_f , \,\!

o valor comum das integrais superior e inferior de Darboux.


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