Integral de Riemann-Stieltjes

Em matemática, a integral de Riemann–Stieltjes é uma generalização da integral de Riemann, nomeada devido a Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Definição

a integral de Riemann–Stieltjes de uma função resultante em valores reais f de uma variável real em relação a uma função real g é notado para

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$

e definida ser o limite, como a subpartição da partição

$P=\{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\}$

do intervalo [a, b] aproximando-se de zero, da soma de aproximação

$S(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

onde c_i está no i-ésimo subintervalo [x_i, x_i+1]. As duas funções f e g são respectivamente chamadas o integrando e o integrador.

O "limite" é aqui entendido no seguinte sentido: existe um certo número A (o valor da integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε > 0 existe uma partição P_ε tal que para cada partição P com subpartição (P) < mesh(P_ε), e para cada escolha de pontos c_i em [x_i, x_i+1],

$|S(P,f,g)-A| < \epsilon.$

Referências

• Hildebrandt, T. H. (1938), "Definitions of Stieltjes Integrals of the Riemann Type", The American Mathematical Monthly 45 (5): 265–278, MR1524276, ISSN 0002-9890
• Pollard, Henry (1920), "The Stieltjes integral and its generalizations", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 19