Integral de Riemann-Stieltjes

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Em matemática, a integral de Riemann–Stieltjes é uma generalização da integral de Riemann, nomeada devido a Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

Definição[editar | editar código-fonte]

a integral de Riemann–Stieltjes de uma função resultante em valores reais f de uma variável real em relação a uma função real g é notado para

\int_a^b f(x) \, dg(x)

e definida ser o limite, como a subpartição da partição

P=\{ a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\}

do intervalo [a, b] aproximando-se de zero, da soma de aproximação

S(P,f,g) = \sum_{i=0}^{n-1} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))

onde ci está no i-ésimo subintervalo [xi, xi+1]. As duas funções f e g são respectivamente chamadas o integrando e o integrador.

O "limite" é aqui entendido no seguinte sentido: existe um certo número A (o valor da integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε > 0 existe uma partição Pε tal que para cada partição P com subpartição (P) < mesh(Pε), e para cada escolha de pontos ci em [xi, xi+1],

|S(P,f,g)-A| < \epsilon.

Referências[editar | editar código-fonte]

Pollard, Henry (1920), "The Stieltjes integral and its generalizations", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 19