Interação spin-órbita

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Na física quântica, a interação spin-órbita (também chamado efeito spin-órbita ou acoplamento spin-órbita) é qualquer interação de partículas de spin com seu movimento. O primeiro e mais conhecido exemplo disto é que a interação spin-órbita provoca mudanças nos níveis de energia atómica de electrões devido a uma interação electromagnética entre o spin do electrão e o campo magnético gerado pela órbita do electrão em torno do núcleo. Isto é detectável como uma divisão de linhas espectrais. Um efeito similar, devido à relação entre o momento angular e da força nuclear forte, ocorre por prótons e nêutrons em movimento dentro do núcleo, levando a uma mudança nos seus níveis de energia no modelo de concha do núcleo. No campo da spintrônica, os efeitos spin-órbita de elétrons em semicondutores e outros materiais são explorados para aplicações tecnológicas. A interação spin-órbita é uma das causas da anisotropia magnetocristalina.

Momentos angulares e Momentos magnéticos (Imagem semi-clássica)[editar | editar código-fonte]

Uma corrente numa espira tem associado a ela um momento magnético

\vec{\mu}=I. \vec{A}

onde \scriptstyle I é a intensidade da corrente e \scriptstyle \vec{A} é o vector área cuja direção é perpendicular ao plano da espira e o sentido consistente com a regra do parafuso de rosca direita. Onde,

A=\pi.r^2

e i = carga do electrão X número de vezes por segundo que o electrão passa num dado ponto = e.f onde f é a frequência de rotação do electrão.

Módulo do momento de dípolo magnético

|\vec{\mu}| = I.A=(e.f).(\pi.r^{2})

Cuja direção é oposta a do momento angular orbital \scriptstyle \vec{L} porque o electrão possui carga negativa.

Agora

|\vec{L}| = m.v.r=.(2\pi.f.r)r=2mf\pi.r^{2} = \frac{2m}{e}.|\vec{\mu}|

Portanto

\vec{\mu}=\frac{e}{2m}.\vec{L} (Z)

Dado que o momento angular é quantizado temos:

\vec{I} = m\hbar \hat{I}

Na primeira órbita de Bohr, m = 1 e a equação (Z) torna-se

\vec{\mu}_{i}=\frac{-e\hbar\hat{I}}{2m}=-\vec{\mu}_{B}\hat{I} (Y)

onde \mu_{B} é chamado magnetão de Bohr e o seu valor é dado por

\mu_{B}=\frac{e\hbar}{2m}


Pode-se ver da Equação (Y) que \scriptstyle \vec{\mu}_{i} é anti-paralelo ao momento angular orbital.

O rácio entre o momento magnético e o momento angular orbital é chamado o rácio giromagnético clássico,

\gamma_{i}=\Bigg|\frac{\vec{\mu}_{i}}{\vec{I}}\Bigg| = \frac{e}{2m} = \frac{\mu_{B}}{\hbar} (X)

O momento angular de spin também possui um momento magnético a ele associado.

O seu rácio giromagnético é aproximadamente duas vezes o valor clássico para o momento orbital, isto é,

\gamma_{s}=\Bigg|\frac{\vec{\mu}_{s}}{\vec{S}}\Bigg| = \frac{e}{m} (K)

Isso significa que o spin é duas vezes mais eficaz em produzir um momento magnético do que o momento angular.

Equações (X) e (K) são muitas vezes combinados, escrevendo

\gamma = \frac{ge}{2m}

onde a grandeza g é chamada o fator de divisão espectroscópico. Para momentos angulares orbitais g = 1, para spin apenas g ≈ 2 (embora experimentalmente g = 2.004).

Para os Estados que são misturas de momento angular orbital e momento angular de spin, g não é inteiro .

Dado que

s=\frac{1}{2}\hbar

O momento magnético devido ao spin do electrão é:

\mu_{s}=\gamma_{s}|\vec{s}|=\frac{e}{m}.\frac{\hbar}{2}=\mu_{B}

Assim, a menor unidade de momento magnético para o electrão é o magnetão de Bohr, quer se combine momento angular orbital ou spin.

A interação de spin-Órbita (Mecânica Quântica)[editar | editar código-fonte]

Na inclusão introdutória do spin na função de onda de Schrodinger, supõe-se que as coordenadas do spin são independentes das coordenadas do espaço de configuração.1

Assim, a função de onda total é escrita como uma função de produto.

\Psi_{\text{total}}=\psi_{nlm}(r,\theta,\phi).\chi(spin).e^{-iE_{n}t/\hbar}

\Psi_{\text{total}}=\Bigg|R_{nl}.e^{-i.E_{n}\frac{t}{\hbar}}\Bigg\rangle.|l,m\rangle.|s,m_{s}\rangle (P)

A suposição feita acima implica que não existe interação entre L e S, i.e

\lfloor\hat{L},\hat{S}\rfloor=0

Neste caso, \scriptstyle \Psi_{\text{total}} é uma auto-função de ambos \scriptstyle L_{z} e \scriptstyle S_{z} e portanto \scriptstyle m_{l} e \scriptstyle m_{s} são bons números quânticos; em outras palavras, as projeções de \scriptstyle \vec{L} e \scriptstyle \vec{S} são constantes do movimento.

Mas na verdade existe uma interação entre \scriptstyle \vec{L} e \scriptstyle \vec{S} chamada interação Spin-Órbita expressa em termos da grandeza \scriptstyle \vec{L}.\vec{S}.

Dado que \scriptstyle \vec{L}.\vec{S} não comuta quer com \scriptstyle \vec{L} ou com \scriptstyle \vec{S}, a equação (P) torna-se incorreta e \scriptstyle m_{l} e \scriptstyle m_{s} deixam de ser bons números quânticos. 

Nós imaginamos a interação spin-órbita como o momento magnético spin estacionária interagindo com o campo magnético produzido pelo núcleo orbitante.

No sistema de referência de repouso do electrão, há um campo eléctrico

\vec{\varepsilon}=\frac{Ze}{r^2}\hat{r}

Onde \scriptstyle \hat{r} dirige‐se do núcleo em direção ao electrão. 

Assumindo que \scriptstyle \vec{v} é a velocidade do electrão no sistema de referência de repouso do núcleo, a corrente produzida pelo movimento nuclear é: 

\vec{j}=-\frac{Ze}{c}\vec{v}

No sistema de referência de repouso do electrão.

Portanto

\vec{H}_{e} = -\frac{Ze}{c}\frac{\vec{v}\wedge\hat{r}}{r^2} = -\frac{1}{c}\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon}

O momento de spin do electrão realiza um movimento precessional neste campo com frequência de Larmor:

\vec{\omega}_{e}=\gamma\vec{H}_{e}=-\frac{e}{m_{0}c^2}\vec{v}\wedge\varepsilon

Com energia potencial

E_{e}=-\vec{\mu}_{s}.\vec{H}_{e}=-\vec{\omega}_{e}.\vec{S}

As equações acima são válidas no quadro de referência de repouso electrão.

A Transformação para o sistema de referência de repouso do núcleo introduz um fator de ½ - chamado o fator de Thomas. [Isto pode ser mostrado, calculando o tempo dilatado entre os dois sistemas de referência em repouso].2

Portanto, um observador no sistema de referência de repouso do núcleo poderia observar o electrão a realizar um movimento de precessão com uma velocidade angular de

\vec{\omega}_{L}=-\frac{e}{2m_{0}c^2}\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon} (T)

e por uma energia adicional dada por

\Delta E=-\frac{1}{2}\vec{\omega}_{e}.\vec{S}

As duas Eqs acima podem ser colocadas em uma forma mais geral, restringindo o V ser qualquer potencial central com simetria esférica.

De forma que

\vec{F}=-\hat{r}\frac{\partial V}{\partial r}=e\vec{\varepsilon}

e então

\vec{v}\wedge\vec{\varepsilon}=\frac{1}{e}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{v}\wedge\vec{r} = \frac{1}{em_{0}}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}

A equação (T) torna-se então

\vec{\omega}_{L} = +\frac{1}{2m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}

E a energia adicional

\Delta E =+\frac{1}{2m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}\vec{L}.\vec{S}

O produto escalar

\vec{L}.\vec{S}=m\hbar s

Para spin = ½

\vec{L}.\vec{S}=m\hbar.\frac{1}{2}\hbar=\frac{1}{2}m\hbar^2

A separação energética se torna então

|\Delta E| =\frac{\hbar^2 m}{4m_{0}^{2}c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial r}

Para o potencial de Coulomb a separação energética pode ser aproximada por:

\Delta E =\frac {\lambda_{c}^{2}mZe^2}{r^3}

Onde

\lambda_{c}=\frac{h}{m_{o}c}

é o comprimento de onda de Compton

\lambda_{c}=\frac{h}{m_{o}c} ou \frac{\lambda_{c}}{2\pi}

Um resultado útil no cálculo é citado sem prova. O valor médio de \scriptstyle \frac{1}{r^3} i.e.

\Bigg\langle\frac{1}{r^3}\Bigg\rangle=\frac{Z^2}{a_{o^2}n^{2}l\Bigg(l+\frac{1}{2}\Bigg)(l+1)}

para \scriptstyle l \neq 0

De modo que a separação energética se torna

\Delta E = \frac{\bar{\lambda}_{c}^{2}m_{i}Z^{3}e}{a_{0}^{2}n^{2}l(l+1/2)(l+1)}

para \scriptstyle l \neq 0

Esquemas de Acoplamento do Momento Angular[editar | editar código-fonte]

Consideramos até agora somente o acoplamento do spin e momento orbital de um único electrão por meio da interação spin-órbita. Nós agora vamos considerar o caso de dois electrões nos quais há quatro momentos constituintes.

O Modelo de Acoplamento j - j[editar | editar código-fonte]

Este modelo assume que a interação de spin-órbita domina as interações electrostáticas entre as partículas.

Assim, nós escrevemos para cada partícula

\vec{J}_{1} = \vec{L}_{1} + \vec{S}_{1}\; e \;\vec{J}_{2} = \vec{L}_{2} + \vec{S}_{2}

O momento angular total é obtido combinando \scriptstyle \vec{J}_{1} e \scriptstyle\vec{J}_{2} :

\vec{J} = \vec{J}_{1}+\vec{J}_{2}.

sendo assim temos

j =|j_{1} + j_{2}|,|j_{1} + j_{2}-1|,.....,|j_{1} - j_{2}|

Ilustramos o acoplamento j-j aplicando-o a dois electrões p não equivalentes.

Para cada electrão

j_{1}=j_{2}=\frac{1}{2} ou \frac{3}{2}

Em um campo magnético fraco, cada Estado de um determinado j irá desdobrar-se em (2j+1) estados, correspondendo aos valores permitidos de mj.

Embora o acoplamento j-j seja amplamente utilizado para a descrição dos estados nucleares observados em espectroscopia nuclear, não é adequado para muitos sistemas atómicos por causa das interações electrostáticas e outras interações entre os dois electrões.

O Esquema de Acoplamento de Russell-Saunders[editar | editar código-fonte]

O modelo de acoplamento de Russell-Saunders tem sido mais bem sucedido no enquadramento dos espectros atómicos de todos, excepto dos átomos mais pesados. O modelo pressupõe que a interação electrostática, incluindo forças de intercâmbio,

entre dois electrões domina a interação de spin-órbita. Neste caso, os momentos orbitais e os spins dos dois electrões combinam separadamente para formar

\vec{L}=\vec{L}_{1}+\vec{L}_{2} \;e\; \vec{S}=\vec{S}_{1}+\vec{S}_{2}

O momento angular total é dado, por

\vec{J}=\vec{L}+\vec{S}

O valor absoluto de \scriptstyle \vec{L} , corresponde a:

|\vec{L}|=\sqrt{l(l+1)}\hbar

onde os valores possíveis de L são:

l=l_{1}+l_{2},l_{1}+l_{2}-1...l_{1}-l_{2} para l_{1}\geq l_{2}

O número quântico l determina as características do nível:

l=0,1,2...\text{indicam os níveis}\;S,P,D...

l=1, corresponde ao nível P, mas não significa necessariamente que a configuração de um dos electrões esteja individualmente num estado p.

As transições ópticas seguem as seguintes regras de seleção:

\Delta l=\pm1 para um só electrão

\Delta l=0,\pm1 para o sistema total.

significa que os estados quânticos dos dois electrões variam simultaneamente, e em direções opostas, o que só é possível quando o acoplamento é forte, como é o caso dos átomos pesados.

Para dois electrões-p não equivalente temos:

\textbf{l}=2,1,\;ou \;0\;e\;s=1\;ou\;0

Para cada l e s, os valores de j são  |l+s|,|l+s-1|,....,|l-s|

para cada valor de j existem (2j+1) valores de \scriptstyle m_{j}. As combinações são dadas na tabela.

Observar-se-á que, apesar do número de Estados é uma vez mais 36 em um campo magnético fraco, as suas energias não são as mesmas que aquelas no esquema de acoplamento j-j

Referências

  1. KIWANGA, Christopher Amelye. In: Christopher Amelye. KIWANGA. Física Nuclear: Introdução à Física Nuclear (em português). 1 ed. Reino Unido: [s.n.], 2013. 133 p. 1 vol.
  2. KIWANGA, Christopher Amelye. In: Christopher Amelye. KIWANGA. Física Nuclear: Introdução à Física Nuclear (em português). 1 ed. Reino Unido: [s.n.], 2013. 133 p. 1 vol.