Interpolação

Exemplo de interpolação linear.

Exemplo de interpolação polinomial de grau superior a 1.

Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.

Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de um experimento. Tal conjunto de dados pontuais (também denominado conjunto degenerado) não possui continuidade, e isto muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real empiricamente observado.

Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais, conferindo-lhes, então, a continuidade desejada.

Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha que tenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos, então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples. Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode compensar o erro.

A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer apenas algumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domínio da função). A função resultante garantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.

Aplicações

Uma das aplicações da interpolação é a obtenção de valores intermediários em tabelas como segue no exemplo abaixo: Um censo da população norte-americana é realizado a cada dez anos. A tabela a seguir fornece a população, em milhares de pessoas, entre 1940 e 1990.

ANO	POPULAÇÃO
1940	132.165
1950	151.326
1960	179.323
1970	203.302
1980	226.542
1990	249.633

O processo de interpolação nos permite fornecer uma estimativa razoável da população, por exemplo, para o ano de 1965 ou até mesmo de 2010 utilizando-se uma função polinomial da forma:

$\ P_n(x)=a_nx+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ (onde n é um inteiro não negativo e $a_0,... ,a_n$ são constantes reais.)

que ajuste os dados fornecidos. Podemos também, estimar os valores do crescimento de bactérias, do consumo de água e energia, etc.

Outras aplicações:

• Integração numérica
• Cálculo de raízes de equação
• Solução de equações diferencias ordinárias

Tipos de Interpolação

• Interpolação Linear
• Interpolação Quadrática
• Ver artigo principal: Polinômio de Lagrange

Interpolação Linear

EXEMPLO:

O número de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após x horas é apresentado na tabela:

x(horas)	y(volume de bactérias)
0	32
1	47
2	65
3	92
4	132

Queremos saber o volume de bactérias no instante igual às 3h e 47 min.

Para isso, pegaremos os pontos $(3;92)$ e $(4;132)$, pois 3h e 47 min. está entre 3 e 4 horas. Acharemos o polinômio interpolador de grau 1 da forma $P_n(x)=a_1x+a_0$, através da resolução do sistema $A.x=B$ onde:

$A= \begin{bmatrix} 1 & x_o \\ 1 & x_1 \end{bmatrix} x= \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \end{bmatrix}$

Para os pontos do nosso problema temos:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x= \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 92 \\ 132 \end{bmatrix}$

Resolvendo o sistema abaixo, descobrimos os valores de $a_0$ e $a_1$:

$\,\!\left\{\begin{matrix}a_0+3a_1=92\\a_0+4a_1=132\end{matrix}\right.$

$a_0=-28$
$a_1=40$
Portanto, o polinômio interpolador é igual a:

$P_1(x)=40.x-28$

Para x=3,7 (3 horas e 42 minutos ) o volume de bactérias é igual a:

$P_1(3,7)=40.3,7-28=120$

Interpolação Quadrática

EXEMPLO: determinar o valor de $log (2,45)$ aproximado por um polinômio interpolador de grau 2:

x	log x
2,3	0,361728
2,4	0,380211
2,5	0,397940

Para descobrirmos o valor aproximado de $log(2,45)$ usando interpolação quadrática, acharemos o polinômio interpolador de grau 2 da forma $P_n(x)=a_2x^{2}+a_1x+a_0$, através da resolução do sistema $A.x=B$ onde:

$A= \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x^{2}_0 \\ 1 & x_1 & x^{2}_1\\ 1 & x_2 & x^{2}_0 \end{bmatrix} x= \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1\\a_2 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

Para os pontos do problema temos:

$A= \begin{bmatrix} 1 & 2,3 & {(2,3)}^2 \\ 1 & 2,4 & {(2,4)}^2\\ 1 & 2,5 & {(2,5)}^2 \end{bmatrix} x= \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1\\a_2 \end{bmatrix} B= \begin{bmatrix} 0,361728 \\ 0,380211 \\ 0,397940 \end{bmatrix}$

Resolvendo o sistema abaixo, descobrimos os valores de $a_0, a_1$ e $a_2$:

$\,\!\left\{\begin{matrix}a_0+2,3a_1+5,29a_2=0,361728\\a_0+2,4a_1+5,76a_2=0,380211\\a_0+2,5a_1+6,25a_2= 0,397940\end{matrix}\right.$

$a_0=-1,400877$
$a_1=1,32364$
$a_2=-0,2423$

Portanto, o polinômio interpolador é igual a:

$P_n(x)= -0,2423.x^{2}+1,32364.x+1,400877$

Para $x=2,45$ o valor a aproximado do $log(2,45)$ é:

$P(2,45)= -0,2423.(2,45)^{2}+1,32364.2,45+1,400877$

$P(2,45)\approx0,387537$

$log(2,45)\approx0,397537$