Iteração de ponto fixo

Em análise numérica, iteração de ponto fixo é um método de calcular-se pontos fixos de funções iteradas.

Mais especificamente, dada uma função $f$ definida sobre números reais com valores reais e dado um ponto $x_0$ no domínio de $f$, o ponto fixo de iteração é

$x_{n+1}=f(x_n), \, n=0, 1, 2, \dots$

o qual resulta da sequência $x_0, x_1, x_2, \dots$ o qual é esperado como convergente ao ponto $x$. Se $f$ é contínua, então pode-se demonstrar que o $x$ obtido é um ponto fixo de $f$, i.e.,

$f(x)=x$.

Mais genericamente, a função f pode ser definida para qualquer espaço métrico com valores naquele mesmo espaço.

iteração do ponto fixo xn+1 = cos xn com valor inicial x1 = -1.

Determinar os pontos fixos de uma função $f(x)$ é determinar a interseção entre as curvas $y=f(x)$ e $y=x$

Desvantagem da utilização deste método: Necessidade da obtenção de uma função de iteração $f(x)$. Sua convergência não é tão rápida quanto outros métodos iterativos.

Origem

Os babilônicos desenvolveram , por volta de 1500 a.C. , um algorítimo capaz de aproximar raízes quadradas de qualquer numero positivo. Dado um numero $N$ , para encontrar sua respectiva raiz quadrada devemos assumir um valor inicial $a_0$ e calcular um certo valor $b_0$. Em seguida aplicava-se o algoritmo $a_k=(a_{k-1}+b_{k-1})/2$. Onde $b_k=N/a_k$. Para cada iteração encontramos uma raiz $N$ cada vez mais aproximada.

Utilidade

Na economia, principalmente, e em outras áreas do campo cientifico serve para achar pontos de equilíbrio.

Teorema

A existência do ponto fixo é garantida pelo seguinte teorema:

• (1)Se $f(x) \in [a,b]$para todo $x\in [a,b]$ , $f(x)$ terá um ponto fixo dentro do intervalo $[a,b]$

• (2) Se $f'(x)$ existir em $(a,b)$ e existir um numero constante e positivo$c<1$ com $|f'(x)| \le c$ para todo $x \in (a,b)$ então o ponto fixo em $[a,b]$ será o único existente neste intervalo fechado.

Ver também

• Teorema do ponto fixo de Banach
• Newton's method
• Secant method