J-invariante

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Em matemática, Klein j-invariante[nota 1] , tida como uma função de uma variável complexa τ, é uma função modular definida sobre o semiplano superior de números complexos.[1] [2]

Nós temos:

Klein j-invariante em um plano complexo.
j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta}.

O discriminante modular \Delta é definido como

 \Delta=g_2^3-27g_3^2. \,

O numerador e denominador acima são em termos dos invariantes modulares g_2 and g_3 das Funções elípticas de Weierstrass.

g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad
g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}

e o discriminante modular.

Estes têm as propriedades que

g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau) \,
\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau) \,

e possuem as propriedades analíticas, tornando-os formas modulares. Δ  é uma forma modular de peso 12 pelo demonstrado acima, e g_2 um de peso 4, de modo que o sua terceira potência é também de peso 12. O quociente é, portanto, uma função de modular de peso zero, o que significa j tem a propriedade absolutamente invariante que

j(\tau+1)=j(\tau),\; j(-\tau^{-1}) = j(\tau).

Notas

  1. Felix Klein trabalhou com teoria das funções e física matemática, o seu principal contributo foi na geometria. Klein apresenta a geometria como o estudo das propriedades de um espaço invariante pela acção de um grupo.

Referências

  1. Dinâmica - j-invariante de uma curva elíptica Prof. João M. G. Cabral[[1]]
  2. DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS EM ANÁLISE TRIDIMENSIONAL NÃO-LINEAR DE SÓLIDOS Ivan Francisco Ruiz Torres [[2]]
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