J-invariante

Em matemática, Klein j-invariante , tida como uma função de uma variável complexa τ, é uma função modular definida sobre o semiplano superior de números complexos.

Nós temos:

Klein j-invariante em um plano complexo.

$j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta}.$

O discriminante modular $\Delta$ é definido como

$\Delta=g_2^3-27g_3^2. \,$

O numerador e denominador acima são em termos dos invariantes modulares $g_2$ and $g_3$ das Funções elípticas de Weierstrass.

$g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}$

e o discriminante modular.

Estes têm as propriedades que

$g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau) \,$

$\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau) \,$

e possuem as propriedades analíticas, tornando-os formas modulares. Δ  é uma forma modular de peso 12 pelo demonstrado acima, e $g_2$ um de peso 4, de modo que o sua terceira potência é também de peso 12. O quociente é, portanto, uma função de modular de peso zero, o que significa j tem a propriedade absolutamente invariante que

$j(\tau+1)=j(\tau),\; j(-\tau^{-1}) = j(\tau).$