Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos.
Definição do laplaciano escalar
O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:
Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:
Seja , assim, o Laplaciano é definido como:
Laplaciano escalar em
O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:
Em coordenadas esféricas , assume a forma:
Em coordenadas cilíndricas , assume a forma:
Laplaciano escalar em
O caso particular em , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:
Em coordenadas polares , assume a forma:
Definição do laplaciano vetorial
Seja , o Laplaciano é denotado por e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de :
Laplaciano vetorial em e coordenadas cartesianas
Em , vale a igualdade:
O (importante) caso particular em que , vale:
ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.
Laplaciano vetorial em e coordenadas cilíndricas
O sistema de coordenadas cilíndricas usual , , , em :
Laplaciano vetorial em e coordenadas esféricas
O sistema de coordenadas esféricas usual , , , em :
Propriedades do laplaciano
O laplaciano é um operador linear:
A regra do produto:
Ligações externas
Ver também