Lei das tangentes

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Em trigonometria, a lei das tangentes[1] estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.[2]

Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.

Proposição[editar | editar código-fonte]

Triangle55.png

Seja um triângulo não isósceles e não retângulo  ABC \,\!, cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura. A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]},

\frac{a+c}{a-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{C})]},

\frac{b+c}{b-c} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}+\widehat{C})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})]}

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Usando uma propriedade das proporções, temos que:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{sen}\, \widehat{A}+\mathrm{sen}\, \widehat{B}}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}-\mathrm{sen}\, \widehat{B}}

Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}}{2 \mathrm{sen}\, \frac{\widehat{A}-\widehat{B}}{2}\cdot \cos \frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}}

 \Rightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})]}{\tan[\frac{1}{2}(\widehat{A}-\widehat{B})]}

Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.
  2. Fatos matemáticos, acessada em 09-07-2011.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]