Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é utilizada em situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Em um triângulo ABC qualquer, de lados opostos aos ângulos internos $\widehat{A}, \widehat{B}$ e $\widehat{C},$ com medidas respectivamente $a, b$ e $c,$ valem as relações:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!$

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:

$ABC, BCD, BAD \,\!$.

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

$b = n + m \,\!$

e

$m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!$.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:

$a^2 = n^2 + h^2 \,\!$

e para BAD:

$c^2 = m^2 + h^2 \,\!$

Substituindo:

$n = b - m \,\!$

e

$h^2 = c^2 - m^2 \,\!$

em

$a^2 = n^2 + h^2 \,\!$

teremos:

$a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!$

Entretanto, pode-se substituir a relação $m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!$, do triângulo $BAD \,\!$, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!$

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!$

Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor $\vec{a}$ como sendo igual a $\vec{b}-\vec{c}$ temos um triângulo formado pela soma $\vec{a}+\vec{c}$ e o resultante $\vec{b}$. Sabendo que $\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2$ e $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos(\theta)$ sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

$\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}$

$\vec{a}^2=\|\vec{a}\|^2=\|(\vec{b}-\vec{c})\|^2$

$\|\vec{a}\|^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})$

$\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\|\vec{c}\|^2$

$\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2+\|\vec{c}\|^2-2\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot cos(\theta)$

Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:

$a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot cos \widehat{A}$

Já que $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores $\vec{b}$ e $\vec{c}$ e considerando que o ponto da origem de $\vec{b}$ é o mesmo da origem de $\vec{c}$, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor $\vec{a}$, logo formando um ângulo $\widehat{A}$.

Forma Matricial

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

$\cos \alpha = \frac {m}{b} \to m = b \cos \alpha$

$\cos \beta = \frac {n}{a} \to n = a \cos \beta$

Somando as duas equações, como $m+n = c$, obtêm-se a relação: $c = b \cos \alpha + a \cos \beta$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

$a = b \cos \gamma + c \cos \beta$

$b = a \cos \gamma + c \cos \alpha$

$c = b \cos \alpha + a \cos \beta$

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): $M = \begin{bmatrix} 0 & c & b \\ c & 0 & a \\ b & a & 0 \end{bmatrix}$

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel $\cos \alpha$ (X): $X = \begin{bmatrix} a & b & b \\ b & 0 & a \\ c & a & 0 \end{bmatrix}$

Assim, é válida a igualdade $\cos \alpha = \frac {det[X]}{det[M]}$ e, portanto:

$\cos \alpha$ = ${a(-a^2+b^2+c^2)\over 2abc} \to a^2 = b^2+c^2-2bc \cos \alpha$ e, analogamente:

$b^2 = a^2+c^2-2ac \cos \beta$

$c^2 = a^2+b^2-2ab \cos \gamma$

Ligações externas

• Uma dedução simples da Lei dos Cossenos