Lei dos cossenos

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A lei dos cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo triângulos quaisquer, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos.[1] Em um triângulo ABC qualquer, de lados opostos aos ângulos internos \widehat{A}, \widehat{B} e \widehat{C}, com medidas respectivamente  a, b e c, valem as relações:[1]

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!
 b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!
 c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica[editar | editar código-fonte]

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:[2]

 ABC, BCD, BAD \,\!.
Demons cossenos.png

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

 b = n + m \,\!

e

 m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!.

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:[2]

 a^2 = n^2 + h^2 \,\!

e para BAD:

 c^2 = m^2 + h^2 \,\!

Substituindo:

 n = b - m \,\!

e

 h^2 = c^2 - m^2 \,\!

em

 a^2 = n^2 + h^2 \,\!

teremos:

 a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!
 a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!
 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!

Entretanto, pode-se substituir a relação  m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!, do triângulo  BAD \,\!, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot cos \widehat{A} \,\!

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot cos \widehat{B} \,\!
 c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot cos \widehat{C} \,\!

Forma Vetorial[editar | editar código-fonte]

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um vetor \vec{a} como sendo igual a \vec{b}-\vec{c} temos um triângulo formado pela soma \vec{a}+\vec{c} e o resultante \vec{b}. Sabendo que u^2=\|\vec{u}\|^2 e \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot cos(\theta) sendo \theta o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}

\vec{a}^2=\|\vec{a}\|^2=\|(\vec{b}-\vec{c})\|^2

\|\vec{a}\|^2=(\vec{b}-\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{c})

\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\|\vec{c}\|^2

\|\vec{a}\|^2=\|\vec{b}\|^2+\|\vec{c}\|^2-2\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot cos(\theta)

Que pode ser representado como a lei dos cossenos que conhecemos:

a^2=b^2+c^2-2b\cdot c \cdot cos \widehat{A}

Já que \theta é o ângulo formado entre os vetores \vec{b} e \vec{c} e considerando que o ponto da origem de \vec{b} é o mesmo da origem de \vec{c}, dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor \vec{a}, logo formando um ângulo \widehat{A}.

Forma Matricial[editar | editar código-fonte]

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

 \cos \alpha = \frac {m}{b} \to m = b \cos \alpha

\cos \beta = \frac {n}{a} \to n = a \cos \beta

Somando as duas equações, como  m+n = c , obtêm-se a relação:  c = b \cos \alpha + a \cos \beta . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

 a = b \cos \gamma + c \cos \beta

 b = a \cos \gamma + c \cos \alpha

 c = b \cos \alpha + a \cos \beta

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M):  M = \begin{bmatrix} 0  & c & b \\ c  & 0 & a \\ b  & a & 0 \end{bmatrix}

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel \cos \alpha (X):  X = \begin{bmatrix} a  & b & b \\ b  & 0 & a \\ c  & a & 0 \end{bmatrix}

Assim, é válida a igualdade \cos \alpha = \frac {det[X]}{det[M]} e, portanto:

 \cos \alpha =  {a(-a^2+b^2+c^2)\over 2abc} \to a^2 = b^2+c^2-2bc \cos \alpha e, analogamente:

 b^2 = a^2+c^2-2ac  \cos \beta

 c^2 = a^2+b^2-2ab  \cos \gamma

Referências

  1. a b Marcos Noé. Lei do cosseno (em português). R7. Brasil Escola. Página visitada em 12 de maio de 2013.
  2. a b Thyago Ribeiro (03 de junho de 2008). Lei dos Senos e dos Cossenos (em português). InfoEscola. Página visitada em 12 de maio de 2013.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]