Lei dos senos

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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência de raio r, de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos \widehat{A}, \widehat{B} e \widehat{C} vale a seguinte relação:

 \frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r \,\!

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Teste

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.


Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a conclusão que  \widehat{A} = \widehat{D}\,\!, porque determinam na circunferência uma mesma corda  \overline{BC} \,\!. Desta forma, podemos relacionar:




 \sin \widehat{D} = \frac{a}{2r}
 \Rightarrow a = 2r \cdot \sin \widehat{A}
 \Rightarrow \frac{a}{\sin \widehat{A}} = 2r


Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos  \widehat{B} \,\! e  \widehat{C} \,\! teremos as relações:

\frac{b}{\sin \widehat{B}} e  \frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r


em que b é a medida do lado AC, oposto a  \widehat{B} \,\!, c é a medida do lado AB, oposto a  \widehat{C} \,\!, e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r \,\!


Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma \vec{b}+\vec{c} e o resultante \vec{a} e os ângulos \widehat{C},\widehat{B} e \widehat{A} correspondendo respectivamente aos vetores \vec{a} e \vec{b}, \vec{a} e \vec{c}, \vec{b} e \vec{c}. Sabendo que o dobro da área, representada por S, do triângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v} é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:


\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot \sin(\theta)


Sendo \theta o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:


\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\times\vec{c}\|=\|\vec{b}\times\vec{c}\|=2S
\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot \sin\widehat{C}=\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{B}=\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{A}=2S
\frac{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot \sin\widehat{C}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{B}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{A}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{2S}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}
\frac{\sin\widehat{C}}{\|\vec{c}\|}=\frac{\sin\widehat{B}}{\|\vec{b}\|}=\frac{\sin\widehat{A}}{\|\vec{a}\|}=\frac{1}{2r}

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}=2r


Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esférica[editar | editar código-fonte]

Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

\frac{\sen a}{\sen A} = \frac{\sen b}{\sen B} = \frac{\sen c}{\sen C}\,

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, \frac{x}{sin x} \to 1\,.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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