Lei dos senos

Trigonometria

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Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em uma circunferência de raio r, de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ vale a seguinte relação:

$\frac{a}{\sin \widehat{A}} = \frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r \,\!$

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C. Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a conclusão que $\widehat{A} = \widehat{D}\,\!$, porque determinam na circunferência uma mesma corda $\overline{BC} \,\!$. Desta forma, podemos relacionar:

$\sin \widehat{D} = \frac{a}{2r}$

$\Rightarrow a = 2r \cdot \sin \widehat{A}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin \widehat{A}} = 2r$

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos $\widehat{B} \,\!$ e $\widehat{C} \,\!$ teremos as relações:

$\frac{b}{\sin \widehat{B}}$ e $\frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r$

em que b é a medida do lado AC, oposto a $\widehat{B} \,\!$, c é a medida do lado AB, oposto a $\widehat{C} \,\!$, e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

$\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}} = 2r \,\!$

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma $\vec{b}+\vec{c}$ e o resultante $\vec{a}$ e os ângulos $\widehat{C}$,$\widehat{B}$ e $\widehat{A}$ correspondendo respectivamente aos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, $\vec{a}$ e $\vec{c}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$. Sabendo que o dobro da área, representada por $S$, do triângulo formado entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:

$\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot \sin(\theta)$

sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:

$\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\times\vec{c}\|=\|\vec{b}\times\vec{c}\|=2S$

$\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot \sin\widehat{C}=\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{B}=\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{A}=2S$

$\frac{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot \sin\widehat{C}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{B}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|\cdot \sin\widehat{A}}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}=\frac{2S}{\|\vec{a}\|\cdot\|\vec{b}\|\cdot\|\vec{c}\|}$

$\frac{\sin\widehat{C}}{\|\vec{c}\|}=\frac{\sin\widehat{B}}{\|\vec{b}\|}=\frac{\sin\widehat{A}}{\|\vec{a}\|}=\frac{1}{2r}$

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

$\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}} = \frac{c}{\sin \widehat{C}}=2r$

Pois é uma relação possível de se inverter.

Trigonometria esférica

Ver artigo principal: Trigonometria esférica

Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

$\frac{\sen a}{\sen A} = \frac{\sen b}{\sen B} = \frac{\sen c}{\sen C}\,$

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, $\frac{x}{sin x} \to 1\,$.

Ver também

• Lei dos cossenos

• Wikilivros