Lema de Fatou

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Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja f_n:E\to\mathbb{R}\, uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

\int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Defina g_n=\inf_{i\geq n} f_i(x)\, e f(x)=\lim_{n\to\infty}g_n=\liminf_i f_i(x).

g_n\, formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

\lim_{n\to\infty}\int_E g_n(x)dx = \int_E f(x)dx\,

Da definição de g_n\,, temos ainda:

\int_Eg_n(x)dx \leq \int_E f_i(x)dx,~~\forall~n\leq i\,

Tomando o ínfimo em i\,, vale:

\int_Eg_n(x)dx \leq \inf_{i\geq n} \int_E f_i(x)dx,~~\forall~n\,

Passando ao limite em n\,, segue:

\lim_{n\to\infty}\int_Eg_n(x)dx \leq \liminf_{i\to\infty} \int_E f_i(x)dx\,

Como\lim_{n\to\infty}\int_Eg_n(x)dx =\int_E f(x)dx = \int_E\liminf_{i\to\infty}f_i(x)dx\,, temos o resultado:

\int_E\liminf_{i\to\infty}f_i(x)dx \leq \liminf_{i\to\infty} \int_E f_i(x)dx\,

Corolário[editar | editar código-fonte]

Seja f_n:E\to\mathbb{R}\, uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função f\,, tal que:

\int_E f_n \leq K\,

então:

\int_E f \leq K\,

Ver também[editar | editar código-fonte]