Lema de Fatou

Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.

Enunciado

Seja $f_n:E\to\mathbb{R}\,$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

$\int \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int f_n\,$

Demonstração

Defina $g_n=\inf_{i\geq n} f_i(x)\,$ e $f(x)=\lim_{n\to\infty}g_n=\liminf_i f_i(x)$.

$g_n\,$ formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

$\lim_{n\to\infty}\int_E g_n(x)dx = \int_E f(x)dx\,$

Da definição de $g_n\,$, temos ainda:

$\int_Eg_n(x)dx \leq \int_E f_i(x)dx,~~\forall~n\leq i\,$

Tomando o ínfimo em $i\,$, vale:

$\int_Eg_n(x)dx \leq \inf_{i\geq n} \int_E f_i(x)dx,~~\forall~n\,$

Passando ao limite em $n\,$, segue:

$\lim_{n\to\infty}\int_Eg_n(x)dx \leq \liminf_{i\to\infty} \int_E f_i(x)dx\,$

Como$\lim_{n\to\infty}\int_Eg_n(x)dx =\int_E f(x)dx = \int_E\liminf_{i\to\infty}f_i(x)dx\,$, temos o resultado:

$\int_E\liminf_{i\to\infty}f_i(x)dx \leq \liminf_{i\to\infty} \int_E f_i(x)dx\,$

Corolário

Seja $f_n:E\to\mathbb{R}\,$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função $f\,$, tal que:

$\int_E f_n \leq K\,$

então:

$\int_E f \leq K\,$

Ver também

• Teorema da convergência monótona
• Teorema da convergência dominada
• Convergência quase-sempre