Lema de Fodor

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Em matemática, especialmente na teoria dos conjuntos, o lema de Fodor afirma o seguinte:

Se \kappa é um regular cardinal enumerável, S é um sub-conjunto estacionário de \kappa , e f:S\rightarrow\kappa é regressivo (isto é, f(\alpha)<\alpha para qualquer \alpha\in S, \alpha\neq 0) então há alguma \gamma e algum estacionário S_0\subseteq S de forma que f(\alpha)=\gamma para qualquer \alpha\in S_0. Em linguagem moderna, o não-estacionário ideal é "normal".

Prova[editar | editar código-fonte]

O lema foi provado pelo teórico de conjunto húngaro, Géza Fodor[1] em 1956.

Nós podemos supor que 0\notin S (através da remoção de 0, se necessário). Se o lema de Fodor é falso, para cada \alpha<\kappa há algum conjunto clube[nota 1] C_\alpha de forma que C_\alpha\cap f^{-1}(\alpha)=\emptyset permita C=\Delta_{\alpha<\kappa} C_\alpha.

Os conjuntos clube são fechados sob a intersecção diagonal[2] , assim C também é clube e, portanto, há algum \alpha\in S\cap C. Assim \alpha\in C_\beta para cada \beta<\alpha, e assim não pode existir \beta<\alpha such that \alpha\in f^{-1}(\beta), então f(\alpha)\geq\alpha, uma contradição. O Lema de Fodor também se aplica na noção de Thomas Jech de conjuntos estacionários, bem como para a noção geral de conjunto estacionário.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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Notas

  1. Um conjunto clube é um subconjunto de um limite ordinal que é fechado sob a topologia de ordem, e é ilimitado em relação ao limite ordinal. O clube nome é uma contração de "fechada e ilimitada".

Referências

  1. Fodor, Géza: Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged, 17 (1956), p. 139-142.
  2. Thomas Jech, Set Theory, The Third Millennium Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2003, page 92.