Lema de Gauss

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Na teoria de polinómios, o lema de Gauss, ou Critério da irredutibilidade de Gauss, afirma que se D\, é um domínio de factorização única (DFU) e \mathbb{K} é o seu corpo de quocientes (o corpo de fracções), então todo o polinómio primitivo p\in D[x] é irredutível em ~D[x] se, e só se o é em \mathbb{K}[x]. Neste contexto, um polinômio primitivo é um polinômio cujos coeficientes tem máximo divisor comum igual a um.

O Critério de irredutibilidade de Gauss proporciona um resultado muito útil para demonstrar certas propriedades de divisibilidade nos anéis de polinómios.

Pela equivalência que assinala o critério entre a irredutibilidade de um polinómio primitivo em D[x] e a irredutibilidade do mesmo polinómio em \mathbb{K}[x], pode demonstrar-se que a ser \mathbb{K}[x] um DFU também o é D[x].

Uma consequência importante do Critério de irredutibilidade de Gauss é que se D é um DFU então também o é D[x], seja ou não este último anel um domínio de ideais principais (DIP). Assim, por exemplo, \mathbb{Z}[x] não é um DIP mas sim é um DFU.