Lema de Gauss

Na teoria de polinómios, o lema de Gauss, ou Critério da irredutibilidade de Gauss, afirma que se $D\,$ é um domínio de factorização única (DFU) e $\mathbb{K}$ é o seu corpo de quocientes (o corpo de fracções), então todo o polinómio primitivo $p\in D[x]$ é irredutível em $~D[x]$ se, e só se o é em $\mathbb{K}[x]$. Neste contexto, um polinômio primitivo é um polinômio cujos coeficientes tem máximo divisor comum igual a um.

O Critério de irredutibilidade de Gauss proporciona um resultado muito útil para demonstrar certas propriedades de divisibilidade nos anéis de polinómios.

Pela equivalência que assinala o critério entre a irredutibilidade de um polinómio primitivo em $D[x]$ e a irredutibilidade do mesmo polinómio em $\mathbb{K}[x]$, pode demonstrar-se que a ser $\mathbb{K}[x]$ um DFU também o é $D[x]$.

Uma consequência importante do Critério de irredutibilidade de Gauss é que se $D$ é um DFU então também o é $D[x]$, seja ou não este último anel um domínio de ideais principais (DIP). Assim, por exemplo, $\mathbb{Z}[x]$ não é um DIP mas sim é um DFU.