Lema de Grönwall

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Em matemática, o lema de Grönwall estabelece uma importante estimativa aplicável à desigualdade envolvendo derivadas ou integrais. Existem duas versões do lema, a integral e a diferencial.

O Lema de Grönwall é uma ferramenta usada para obter variadas estimativas em equações diferenciais ordinárias.

Em particular, é usado para provar a unicidade de uma solução para o valor inicial do problema (como no Teorema de Picard-Lindelöf).

O Lema de Grönwall é nomeado a partir de Thomas Hakon Grönwall (1877-1932).

Versão Integral[editar | editar código-fonte]

Se, para t_0\leq t\leq t_1, \phi(t)\geq 0 e \psi(t)\geq 0 são funções contínuas tais que a desigualdade

\phi(t)\leq K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s

se mantenha em  t_0\leq t\leq t_1, com K e L sendo constantes positivas, então

\phi(t)\leq K\exp\left(L\int_{t_0}^t \psi(s)\, \mathrm{d} s\right)

sendo  t_0\leq t\leq t_1.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

É fácil ver que:

\frac{\phi(t)}{K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s}\leq 1

definindo u(t):=K+L\int_{t_0}^t \psi(s)\phi(s) \, \mathrm{d} s , temos:

\frac{u'}{u}\leq L\psi(s)

Integrando entre t_0\, e t\,, obtemos:

\ln u-\ln u(t_0)\leq L\int_{t_0}^t\psi(s)ds

Usando exponenciais:

 u(t)\leq  u(t_0)\exp\left( L\int_{t_0}^t\psi(s)ds\right)

como  u(t_0)=K\, e \phi(t)\leq u(t)\,, vale:

 \phi(t)\leq  K\exp\left( L\int_{t_0}^t\psi(s)ds\right)

Versão Diferencial[editar | editar código-fonte]

Seja u(t)\, uma função não negativa e diferenciável em [0,T]\,, que satisfaz:

u'(t) \leq f(t) u(t) + g(t)\,, onde f(t)\, e g(t)\, são funções integráveis em [0,T].

Então:

  •  u(t)   \leq  u(0)e^{\int_0^t f(\tau) d \tau} +\int_{0}^t g(s)e^{\int_s^t f(\tau) d \tau}ds,~\forall t\in [0,T]\,

Se f(t)\, e g(t)\, forem não negativas, então a expressão se simplifica a:

 u(t)   \leq  e^{\int_0^t f(\tau) d \tau}\left[u(0) +\int_{0}^t g(s)ds\right], \forall t\in [0,T]\,

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Basta multiplicar a expressão pelo fator integrante e^{\int_0^t f(\tau) d \tau}\, e rearranjar os termos:

\left( u(t) e^{-\int_0^t f(\tau) d \tau}\right)'  \leq g(t)e^{-\int_0^t f(\tau) d \tau}\,

Integra-se de 0 a t:

 u(t) e^{-\int_0^t f(\tau) d \tau}-u(0)  \leq \int_{0}^t g(s)e^{-\int_0^s f(\tau) d \tau}ds\,
 u(t)   \leq  e^{\int_0^t f(\tau) d \tau}\left[u(0) +\int_{0}^t g(s)e^{\int_s^t f(\tau) d \tau}ds\right]\,