Lema de Jordan

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O Lema de Jordan em conjunto com o teorema dos resíduos, é utilizado para calcular integrais no plano complexo.

Definições[editar | editar código-fonte]

Definição 1[editar | editar código-fonte]

Sejam CR uma semicircunferência de raio R no semiplano superior e centrada na origem e f(z) uma função que, para arg(z)∈[o,π], converge uniformemente a zero mais rápido que  \frac {1}{|z|} quando |z|→ \infty , ou seja, C_R=\{z : z=R e^{i \theta}, \theta\in [0,\pi]\} 1

O caminho C é a concatenação dos caminhos C 1 e C 2.

Definição 2[editar | editar código-fonte]

Consideremos a integral : I_R = \int_{R} f(z) \ dz , com ΓR = {Z=Re, 0≤θ≤π} e α>0 e se a função f é da forma :f(z)=e^{iaz} g(z)\,,\quad z\in C_R, Suponhamos que f(z) seja analítica neste semi-plano exceto em um número finito de pontos e que o valor máximo de módulo de f(Z) para z∈ΓR tende a zero quando R tende ao infinito então:

 \lim_{R \to \infty} I_R = 0

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Dentre outras aplicações o Lema de Jordam é fundamental para os seguintes cálculos: integrais reais via variáveis complexas, Transformada de Laplace Inversa, Transformada de Fourier Inversa, dentre outros.

Nestes cálculos, boa parte da dificuldade está em escolher um contorno de integração e uma função g(z) convenientes.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Por definição:

\begin{align}
\int_{C_R} f(z)\, dz
&=\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos\theta+i \sin\theta)}\,i Re^{i\theta}\,d\theta\\
&=R\int_0^\pi g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta\,.
\end{align}
\biggl|\int_a^b f(x)\,dx\biggr|\le\int_a^b |f(x)|\,dx
\begin{align}
I_R:=\biggl|\int_{C_R} f(z)\, dz\biggr|
&\le R\int_0^\pi\bigl|g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos\theta-\sin\theta)}\,ie^{i\theta} \bigr|\,d\theta\\
&=R\int_0^\pi \bigl|g(Re^{i\theta})\bigr|\,e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.
\end{align}

Utilizando M_R:=\max_{\theta\in [0,\pi]} \bigl|g \bigl(R e^{i \theta}\bigr)\bigr| e a simetria sin θ = sin(πθ), temos:

 I_R \le RM_R\int_0^\pi e^{-aR\sin\theta}\,d\theta = 2RM_R\int_0^{\pi/2} e^{-aR\sin\theta}\,d\theta\,.

De fato o sin θ é concavo neste intervalo θ ∈ [0,π /2], logo, o gráfico sin θ estará acima da linha, consequentemente

\sin\theta\ge \frac{2\theta}{\pi}\quad

portanto, como M_R:=\max_{\theta\in [0,\pi]} \bigl|g \bigl(R e^{i \theta}\bigr)\bigr| \to 0\quad \mbox{quando } R \to \infty\,, temos:

 I_R
\le 2RM_R \int_0^{\pi/2} e^{-2aR\theta/\pi}\,d\theta
=\frac{\pi}{a} (1-e^{-a R}) M_R\le\frac\pi{a}M_R\,.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Calcule a seguinte integral:

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}dx

Resolução

Seja a função:

f(z)=\frac{1}{1+z^2}

Nesta ache as singularidades (igualando a zero o denominador)

\qquad z\in{\mathbb C}\setminus\{i,-i\}

Desenhando a curva, nota-se que a singularidade de f no plano se encontra apenas na metade superior, em z = i , assim...

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx= \int_{-R}^R \frac{1}{1+x^2}\,dx + \int_{\Gamma_R} \frac{1}{1+z^2}\,dz = 2\pi i\,\operatorname{Res}(f,i)\,.

E, por f ser de polo simples

 2\pi i \operatorname{Res}(f,i)=2\pi i \lim_{z\to i}(z-i)f(z) = 2\pi i \lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}= 2\pi i \frac{1}{2i}=\pi

Assim,

\int_{-R}^R \frac{1}{1+x^2}\,dx + \int_{\Gamma_R} \frac{1}{1+z^2}\,dz = \pi

Utilizando o lema de jordan, quando R → \infty , temos

 \lim_{R \to \infty}\left|  \frac{1}{1+z^2} \right| = 0 ,pela substituição z = R e (lembrando que e = cos(θ) + i sen(θ) é uma função limitada, entre 1 e -1)

Contudo, quando R → \infty :

 \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx + 0 = 
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx = \pi

Notas e Referências

  • E. Capela de Oliveira; A. Rodrigues Jr.. Introdução às Variáveis Complexas e Aplicações. Campinas - SP: Imecc: [s.n.], 1999. p. 284p.. ISBN 85-87185-02-0
  • Brown, James W.; Churchill, Ruel V.. Variáveis Complexas e Aplicações. 7ª ed. New York: McGraw Hill, 2004. p. 262–265. ISBN 0-07-287252-7