Limite superior e limite inferior

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Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência xn é mostrada em azul.

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Notação e definição[editar | editar código-fonte]

Considere uma sequência \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

A_N=\sup_{n\geq N}a_n\,

A sequência A_n\, é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada A_N\, for infinito) e o ínfimo da sequência.

O limite superior de \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, é então definido o o limite da sequência A_N\,. Denota-se:

  • \limsup_{n\to \infty} a_n = \overline{\lim_{n\to\infty}}a_n = \inf_{n=1}^{\infty} \sup_{n\geq N}a_n = \lim_{N\to\infty} \sup_{n\geq N}a_n\,

E, de forma perfeitamente análoga, se define o limite inferior:

  • \liminf_{n\to \infty} a_n = \underline{\lim_{n\to\infty}}a_n = \sup_{n=1}^{\infty}\inf_{n\geq N}a_n = \lim_{N\to\infty} \inf_{n\geq N}a_n\,

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam \{a_n\}_{n=1}^{\infty}\, e \{b_n\}_{n=1}^{\infty}\, sequências de números reais, então valem as afirmações:

  • \liminf_{n\to\infty}a_n\leq \limsup_{n\to\infty}a_n\,
  • \liminf_{n\to\infty}-a_n= -\limsup_{n\to\infty}a_n\,
  • \limsup_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\leq \limsup_{n\to\infty}a_n +\limsup_{n\to\infty} b_n \,
  • \liminf_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\geq \liminf_{n\to\infty}a_n +\liminf_{n\to\infty} b_n \,
  • Seja \{a_{n(k)}\} uma subsequência de \{a_{n}\} que possua limite, então \lim_{k\to\infty}\left(a_{n(k)} \right)\leq \limsup_{n\to\infty}a_n \,

Limite superior e inferior de uma sequência de conjuntos[editar | editar código-fonte]

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se E_n\, é uma sequência de conjuntos, então define-se:

  • O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos E_n\,.
  • O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos E_n\, exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

  • \limsup_{n\to\infty} E_n =\overline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k\,
  • \liminf_{n\to\infty} E_n =\underline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}E_k\,

É sempre verdade que \liminf_{n\to\infty} E_n\subseteq \limsup_{n\to\infty} E_n\,. Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

\lim_{n\to\infty} E_n=\liminf_{n\to\infty} E_n= \limsup_{n\to\infty} E_n\,
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