Linearização

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Em matemática e suas aplicações, linearização refere-se a encontrar a aproximação linear de uma função em um dado ponto. No estudo de sistemas dinâmicos, linearização é um método para avaliar-se a estabilidade local de um ponto de equilíbrio de um sistema de equações diferenciais não lineares ou sistemas dinâmicos discretos.[1] Este método é usado em campos tais como engenharia, física, economia e ecologia.

Linearização de uma função[editar | editar código-fonte]

Linearizações de funções são funções lineares geralmente usadas com propósito de realizar cálculos específicos. Linearizar é um método eficaz de aproximar a imagem de uma função y=f(x) em qualquer x=a baseando-se na inclinação da reta tangente da função em x=b, desde que f(x) seja contínua em [a,b] (ou [b,a]) e a esteja suficientemente próximo de b.

Por exemplo: você provavelmente sabe que \sqrt{4}=2. Mas sem uma calculadora, como seria possível calcular \sqrt{4,001}?

Seja L_a(x) a função correspondente à linearização de f(x) em a, a propriedade da Localidade Linear nos diz que qualquer função diferenciável num ponto é linear naquele ponto, ou seja, sob um certo nível de zoom, seu gráfico assemelhar-se-á a uma reta. Essa reta é justamente a reta tangente da função naquele ponto específico.

Sendo assim, a linearização da função f(x) no ponto x=a será: y-f(a)=m(x-a) ou y=f(a)+m(x-a), em que m é a inclinação da reta, que corresponde à derivada da função f(x) em a. A equação final para a fórmula do calculo da linearização é:

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para encontrar \sqrt{4,001} nós podemos usar o fato de que \sqrt{4} = 2. A linearização de f(x) = \sqrt{x} no ponto x=a é

y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a)

Substituindo a por 4, temos:

y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)

Nesse caso, x=4,001, então:

y = 2 + \frac{1}{4}(0,001)= 2.00025

Perceba que o verdadeiro valor de \sqrt{4,001} é 2,000249984, portanto esta linearização possui um erro de 0,000000016.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências